Файл: Романов В.Г. Обратные задачи для дифференциальных уравнений спецкурс для студентов НГУ.pdf

и равенство

(42) можно

записать

в виде

г2

ЪГк,ц) = J

Ж({ч=у-,71,А)й(А,у) dy,

(43)

о

%(p,Tl,A)

= -§-

J

pi^p^^cos^sintp),

7?)-

о

В этой

формуле

(Л, feo5<p, sln.(p))=Aicx>scp +

Azslncp.

Используя свойства

функций

f,j),

находим .

WlQ,ЧЛ) =

т

М

J

fp(°.(p,4)d.(p

ФО.

о

ZK(p,ti,Ji)

В го же время производные от функции

по переменным

р, 7

существуют

и непрерывны в области о « р ^ - Г ^ ^ Ш .

Поэто­

му уравнение

(43) дифференцированием по,

и делением на

ЗГСо.^.Я)

может быть сведено к уравнению Вольтерра второго рода с ядром,

имеющим слабую особенность на диагонали. Отсюда и следует

справед­

ливость

теоремы.

Перенесение

результатов

на случай

семейства

гиперповерхностей

труднений

(cM.fI28j, § 7 ) . Достаточно х считать

(n-i)

-мерной

координатой, а под ср понимать обобщенный полярный угол,

характе­

ризуемый

(n-z)

угловыми координатами. При этом ядро уравнения

(43)

вблизи диагонали имеет порядок

(ч-у)'Л1п3)

и поэтому урав­

нение (43) n ~ i

- кратным дифференцированием приводится к урав­

нению второго

рода. Естественно,

что при этом нужно требовать бо­

лее

высокую гладкость функции

<{(р,cp,ti)

и

jDfx,??).

»1налогичяо

случаю кривых может

быть проанализирован

случай,

(x-x0f+ifz

< ez,

ц>о.

В дальнейшем

е -

окрестность

точки №0 1 о)

будем обозначать через

5(х0,е.). Имеет место

следующая теорема.

Т е о р е м а

6. Пусть

/Л*,??)

-

двуметрическое семейство

кривых в области

(0 = [(х>у):

- ~ о < х < ~ ,

0£.уаН},

имеющих не­

прерывную касательную и таких, что в каждой окрестности

S(.x0,s.)

f-oo<sr0 <o=.) o&s^H

)

содержится, по крайней мере,

одна кривая

семейства,

a

_/>(s,

-

положительная интегрируемая функция

длины дуги

5 кривой

L($,q)

и параметров

. Тогда аналити­

ческая в области

£> функция

и(х,у)

однозначно определяется сво­

ими интегралами

V($,TI)

=

j p(s,$,Tihu(x,y)

ds.

(44)

Для доказательства

достаточно показать, что из i/=o

следует

а = о , поэтому в дальнейшем мы будем рассматривать

однородное

уравнение,

отвечающее

уравнению (44):

J3CS,£, 7i) и(х, y)ds=o.

(44')

Предположим, что

функция

и(х,у)^о

в области О . Рассмот­

рим множество

точек на плоскости, где она может обращаться в нуль.

смотрим, теперь окрестность 5fcc„(e)

такую, что она целиком

со­

держится в Д . Тогда, по условию, найдется кривая /.($„, 7?0 ),

ко­

торая содержится в окрестности Sfa^e), за исключением, монет

быть, ее концов. Применяя к интегралу

по этой кривой теорему

о

среднем,

находим

5j>(s,i.,4.)u(x,y)ds

=

u(x*y*h

j j H s , f „ , 7 ? j e t s .

Здесь точка

(х*,у*)

- некоторая

внутренняя точка кривой /,(£„,

и, следовательно,

(х*у*)е Д .

Поэтому,

в силу

положительности

Функции

J 3

^ , £.

и неравенства и(х* у*) >о,

справедливого для

точек области Л ,

получаем

предположения, что

и(х,у)фа

Поэтому

остается принять, что

и = о

в

области

£) . А это

и доказывает

теорему.

10 . 0

некоторых классах единственности решения задач интег­

ральной

геометрии. Условие аналитичности

функции и(х,у)

явля­

жениях о классе

функций

и(х,у)

в то же время не накладывая на

семейство кривых

L($, q)

и весовую функцию р

слишком

сильных

ограничений типа

инвариантности относительно

некоторой

группы

поверхностей. Мы приведем ниже полученные здесь автором

резуль­

таты только для случая кривых на плоскости. Перенесение

их на

не

будет.

Мы будем в этом пункте считать, что

семейство кривых

L($,?i)

в

области

Ф = {(х,у1:-~о<х<~=,

ску*//,

о<Н<•=-=>}

удов­

летворяет

следующим условиям. Семейство

кривых Ll^rf)

содержит

в себе кривые, отвечающие произвольным

(£, т^е©

допускает

пред­

ставление

в виде

* = * ; f y . * > ? , s

* + ' - ^ < / > ( ^ F ^ . M ) >

°^У<У,

(45)

причем функции </>f/>,f,7?)

непрерывны в

области

(*- =

= {(р,^7):-<х. < ^ < ~ > ,

о < ; р <

-Ту ^ Ш

} ,

имеют в этой

обла-

сги непрерывные и ограниченные производные

д$ '

dpz '

Эрдц

и удовлетворяют следующим условиям:

<QU\i,V>a,'

?jto,i,V)=o,

%£%(р.Ь,Ю>о,

(46)

| р ^ Н р . £ а > 0 '

Ц *

^ * ^ ! * ^

(47)

Смысл первого из условий (47) ясен из равенства

( I I ) и факти­

чески означает, что радиус кривизны кривых

U$,ii)

в их вершинах

равномерно ограничен снизу положительный постоянной. Второе

из

условий (47) означает, что

| а = ^ + Н У - | й > у > 0 ,

(48)

и связано, таким образом, с условием монотонности функций

х^(у,$,т1)

по переменной

Относительно весовой

функции

j>(x,$,т?)

предположим, что она

•fixif1?

3 0 в с е й

Рассматриваемой области и

> / > о .

(49)

Покажем, что при выполнении этих условий задача

отыскания

функции ufr,y)

из уравнения (2) может быть редуцирована

к реше­

нию некоторого

интегро-дифференциального уравнения. При

этом бу­

их

(х,у-) непрерывную в области 2> .

Преобразуем соотношение ( 2 ) , перейдя в интеграле от перемен­

ной

интегрирования х

к переменной ц . Используя формулу (45) ,

находим

v m = t j j j . ( ^ v , u > « ^ w v ^ -

( 5 0 )

Здесь функции ji-lpXri)

вычисляются по формулам: