Файл: Романов В.Г. Обратные задачи для дифференциальных уравнений спецкурс для студентов НГУ.pdf

К обеим частям равенства

(50) применим

оператор

S

iv=

] Щ^Нь-Ю*-

d-q.

(52)

s

s

Выполним во внутреннем интеграле

замену переменной интегрирования

•q на переменную

в -•

7 = 5 casle

+ у sin*в.

Тогда предыдущее равенство примет вид

Lv = Zll^j^df[^.({Ttfcose,^

bcos'-e-hijsirfe)•

о

о

2

2

J = i d

^

4 = 1 p «

p=o

I d($7S)l > 9Глр>о.

(54)

Деля обе части получившегося соотношения на Ai$,s),

получаем

следующее уравнение для искомой функции:

°

"

°

(.55)

в котором

s

о

Из сделанных относительно функций

j^foc-J,^)

предпо­

функций

#jK (*,s,у,в),

H.,j=i,z,

во всей области

их

определе­

ния. Пусть

/ R-(i,s,y,e)j

<<= - .

(46)

Для функции двух переменных

ЯРС^у), определенной в области t)

и суммируемой с квадратом при каждом фиксированном

у ,

введем

обозначение

^

Демма I . Пусть уравнение

(55)

имеет решение Шх,у),

непрерыв-

Из уравнения

(55)

и неравенства

(56) находим

S

7Г/2

„

J / 2

+[

j tflXjiy,!-,

scosze

+yslnze)i

y)d$]

j

de.

— o - o

Перейдем во внутренних интегралах от переменной

интегрирования f

к переменной

х^ ,

связанной с

£

равенством:

ос. = х.(ц7

scosze + у ъйг?в).

Такой переход возможен, так как неравенство

(48)

гарантирует

су­

ществование

для функции

sc-(y, $,

s сое*© + у sirfe)

обратной

к ней по переменной

f

функции

£ = ^

э:^ scasze

+ у

sinze).

Для

этой функции,

в силу (48),

имеем оценку

9 1

<

±

(58)

Поэтому, усиливая предыдущее

неравенство, получим

S

?%

«о

+ [ j « ^ х , у ) с в с ] ^ ] d e ,

а это эквивалентно неравенству (57) .

При выводе неравенства

мы формально

воспользовались

существо­

ванием tlFSs.

Однако,

из

проведенных

оценок очевидным образом

сле­

дует, что для

функции

F($, s),

определяемой

левой

частью равен­

ства

(55),

||F||S

существует

и непрерывна

при

se[o,HJ.

Лемма 2 . Пусть

Шх,ф — решение

уравнения ( 5 5 ) ,

удовлетворяю­

щее

требованиям леммы I

и,

кроме

того,

неравенству

lu^l

ё

ХЫ9

,

О&у&Н,

(58)

lull < m-

[i

*2»гя|^(Лн)]-воср [ R ' f J f u f ^ s ] ,

( 5 9 )

где

RF1=

tnajx

IIFt.

Для доказательства

воспользуемся неравенством (

5 7 ) , записав его,

с учетом (58), в виде

Ли/4 < |F| +

( 5 - ц ) ^

dy.

о

Выполним здесь однократную итерацию. Тогда

получим

lulls^llFll

+

llftzfs +

Г М д е + , П Ч _ Д .

L / /

что

s

J

F(s-y)(y-z)

и

5«W,

находим

S

о

Отсюда

и следует неравенство

(.59).

Т е о р е м а

7 .

Пусть m

-

линейное множество функций

Шх,у),

непрерывных вместе

с частной

производной

u^.(x,y)

в

облас­

ти £>, имеющих непрерывные

lu.L,

llu^S^

на

отрезке

[о,Н]

и

удовлетворяющих неравенству

(4ь)

с константой

7L [своей для

каж­

дой функции). Тогда на множестве

m

задача

интегральной

геомет­

рии (2) не может иметь двух различных решений.

Действительно,

если и£(х,у),

ujx,y)

-

Д в а

решения

задачи

( 2 ) ,

принадлежащих множеству т , то их разность

и 4 - а г = й

в

силу

ли­

нейности множества

т

также принадлежат

т.

Так

как

уравнение

( 5

5 ) линейно,

то функция

Шх,ц)

будет

удовлетворять

однородно­

му уравнению и, в

силу

( 5 9 ) ,

Ш115=о

при любом

se[o,W. Отсюда

«(1,(/|зО,

то есть

u j x . y )

=

иг(х,ф.

Исходя из

этой

георемы, легко

получить

утверждения, касающие­

j V l U l l j j ,

(62)

и множество функций

и(х,у)

с финитным преобразованием Фурье

удовлетворяет условию теоремы 7 . Поэтому функция и(.х,у)

однознач­

но

определяется функцией

I?($,TI),

tf,7j)eO.

Обозначим через тм линейное множество функций тлст,

та­

ких, что константа

Ж в неравенстве (58) не превосходит

задан­

ного положительного

числа

ff.

Т е о р е м а

8 . Пусть Ж - множество функций

а{гд|)г опреде­

ленных в О

и таких, что для всех

JT>JTB>o

(Яо

= Л0Ш.))

имеет место

представление

Шх,у)

= u„fcy)

+ Uj,tx,lJ),

( 6 3

)

причем

и.„[х,у)е

тм,

а для \4м{х,у\

справедлива оценка

l w „ l , « С е -

* * "

ihM^^

^>0)'(64)

где

С, & -

постоянные, зависящие только

от

u.tx,y). Тогда на мно­

жестве

JU задача

интегральной геометрии- (2) не может иметь двух

различных решений.

Пусть и17иг—

два решения, принадлежащие

М. Тогда их

раз­

ность также принадлежите. Действительно, предположим, что

uLlx,y)

=

и^(х,у)

+ w l A f x , y ) ,

i=i,z,

причем

иш(х,ц)&

тм

(i=i,z\ а для

W£Jtf

справедливы неравенства

Тогда для

tZ = a , - t t 2

получим

йга;у; =

2„№,у) + i^/х,^,

(65)

причем

й^1х,у)

= и.^(х7у)

— а^1х,у)

принадлежит мно­

жеству

т„ в силу его линейности, а для

\ИМ

справедлива

оценка (64) при

Функция

a (х, у)

удовлетворяет однородному уравнению (55) при

F($,s)=o.

Представим в этом уравнении функцию

исх,у)

в

виде (65) и члены, содержащие

\iM(x,y\

перенесем в правую часть

равенства. Тогда,

проводя оценки, аналогичные выполненным при до ­

казательстве леммы Г, получим неравенство, аналогичное (57) :