Файл: Романов В.Г. Обратные задачи для дифференциальных уравнений спецкурс для студентов НГУ.pdf

*

(66)

Члены, "содержащие функцию

viNlx,y),

легко оцениваются на основа­

нии неравенства (64):

s

• Я Л -

Щ-

](Щ

+ 11

h^»\)

t s - v r ^ d v *

о

Поэтому

применяя к неравенству

(66) лемму 2 (при этом

ITfsjJlO,

находим

Устремляя в этом равенстве ./V

к бесконечности,

находим, что при

Шь = Ьт^1й„^

=о

и,

следовательно,

ujx,y)

= uz(x,y) в

полосе

o~Zy<h.

Для завершения доказательства

осталось заме­

тить, что область

Ф

можно разбить на конечное число полос

тол­

щиной не более

h

. Двигаясь от нижней полосы к верхней,

последо­

вательно

убедимся, что в каждой из них функция

utx,y)=o,

то

есть

ujx.y)

= иг{х,у).

Следствие 3 . Пусть функция

и(х,у>

имеет

по переменной

ос

преобразование Фурье

и(А,у),

непрерывное по

у

на отрезке [о,ИЗ,

причем при любом Я

имеет место оценка

1шА,у>1

« Q . e x p ( - №

(д„>о).

(67)

Тогда

функция

и(х,у)

однозначно определяется интегралами ( 2 ) .

Возьмем в качестве

ujx,y)

функцию

Легко

проверяется,

что

иА(х,у)

е m N . Для разности

wvf3C,</) =

= и(х,у)

— ил(х,у)

и ее производной

по х

имеем равенства

7 * "

Из которых, с учетом неравенства

( 2 7 ) ,

находим

Отсюда ясно, что при любом

8<S0

для

\Ым1х,у) выполнены нера­

венствами (64) при подходящем выборе константы

С.

Это означает,

что рассматриваемый

класс

функций входит в множество М

теоремы

8 и тем самым доказывает

справедливость

высказанного

утверждения.

I I .

Некоторые замечания по поводу

постановки

задач

интег­

ральной

геометрии. Мы рассматривали задачи, когда

заданы

интегра­

лы от функции

шх,у)

по кривым или поверхностям. В приложениях

встречаются однако случаи,

когда

заданы интегралы

от линейной

комбинации интегралов по кривым

и по областям

Ф^У),

ограниченным этими кривыми:

J ^>(x,$,72)-u(x,</)tfx

+

jj

fitx.y.hW•utx.ydxdy

=Щ,Ю,

или от линейной комбинации интегралов по поверхностям

Sf^i?) и

областям

£)/•*, 12),

ограниченным ими:

jj

pte,W

utx,yldx

+ jjj

дщ^-ф-аЩ)

dtzd-y

=

vik,nl

Set, 7)

pipit

Щ.У)

В этих формулах

-

заданные весовые функции. Анализ этих

ного выше. В случае кривых

Lll,т?)

или поверхностей S

инвариантных к сдвигам параллельного

переноса или вращения до­

статочно потребовать, чтобы функция р

удовлетворяла прежним

по переменной

у

обладает таким свойством, что мы можем ее ре­

шать последовательно, разбив область £> на любое конечное

число

полос £>к = {(х,у):

- « ~ = < x < + ° o )

yK^y^yKti}.

При решении

задачи в полосе

50я мы уже знаем решение в области

у^ул, и по­

этому нам важно поведение

только

тех кривых

т?)

семейства,

для которых

( $ , ^ € 5 0 к ,

и только той их части,

которая лежит в

области £)1 С )

т . е . важно поведение кривых L(.$,7i)

в некоторой ок­

рестности их вершин. Поэтому требования на поведение кривых

се -

результаты по единственности решения задач интегральной геомет­

рии. Для более

полного ознакомления с этим предметом читателю

рекомендуется

познакомиться с работами [ 3 6 , 4 1 , 62, 119, 123,

127, 128,

1 6 1 ] .

f

4 . Многомерная обратная кинематическая задача

Ранее, в § 5 главы П, мы рассмотрели постановку обратной ки­

нематической задачи сейсмики для случая, когда скорость передачи

помним постановку

обратной кинематической

задачи. Рассматривает­

ся область & (конечная или бесконечная) в

пространстве

ее =

=(х1 ,хг ,..., х „ ) ,

ограниченная поверхностью 5 . Требуется

найти

скорость передачи сигналов

v(x>

внутри области £) , если из­

вестны времена пробега rtx°

х')

сигнала

между парами

точек

x - . x ' s S .

rtfx)

= i%,ix)+п, (х),

( I )

где функция

tz^ix)

задана

(n^(x)>o),

a

nt(X) - мала по сравне­

нию с njx).

Задача

отыскания функции

пШ

в этом случае

сво­

дится к отысканию функции

nt

fx).

Воспользуемся ее малостью для

постановки линеаризированной

задачи. Используем для этой

цели

уравнение

эйконала

I grcad^

г ( х ^ х ) | г = rf(x).

(2)

Подставив в это уравнение

щх)

из формулы

( I ) , введя для на­

глядности

параметр малости' Л :

п(х)

= njx)

+Ап1(х).

Функцию

Т(х° х )

представим в виде ряда по малому параметру •

их', х ) = TL Лл

ТЛ (х° х).

(3)

Приравнивая члены при одинаковых степенях

Л , находим

\дугас1а.'с0(х:х)Г

= п0(х),

(4)

^ т а а ^ т ^ х » -

LjTad^tjx'x)

=

njixi-n^x).

(5)

Т(х°х)

<* tjx'x)

+ T i ( x ° x ) .

(6)

Как видно из уравнения

(4) функция

zjx'x)

зависит только от

п0(х)

и дает

времена пробега сигналов между точками

х ° х в сре­

де, характеризуемой скоростью передачи сигналов

-сг(х)=—i—-. Так

как функция njx)

задана,

то решив прямую кинематическую

задачу

( т . е . построив поле лучей и времен), мы можем найти функцию

т„(х°х).

Тогда

из равенства

(6) мы знаем

т ^ х ' х ) для пар то­

чек x ° x * € S ,

с точностью до малых порядка

п*.. Разделим

обе

части равенства

(5) на

t\,W.

Обозначим через

Г0(.х°,х)

луч,сое­

диняющий точки

х°, х

в метрике, связанной

с функцией

п„(х).Тог-