Файл: Романов В.Г. Обратные задачи для дифференциальных уравнений спецкурс для студентов НГУ.pdf

T J a ^ x )

=

rt±ix).

Интегрируя

его вдоль луча

Ц(х°х)

от точки х°

до точки

х\

находим

zL(x° х 1 ) = j

nt№)

ds.

(7)

Cfx;x')

В этой формуле через ds

обозначен элемент

евклидовой длины ду­

ги кривой

£(х°х% Лучи

£(х°х')

зависят

только

от

п„(х)

и мо­

гут считаться поэтому известными. Линеаризированная

постановка

щей задаче интегрально;! геометрии: от функции f i j x ;

известны

интегралы по лучам

[^(х'х1),

зависящим от функции

njx)

и свя­

зывающим пары точек

сс° х ' е 5 ;

требуется найти через эти интег­

ралы функцию n.t(x).

Исследование этой задачи мы можем провести,

опираясь на изложенные в предыдущем параграфе результаты.

Рассмотрим вначале частный случай,

когда исследование

прово­

дится наиболее просто. А именно, пусть

функция njx)

зависит

остальными (n-i)

координатой сохраним прежнее

обозначение

х .

Таким образом,

теперь л = п(х,у),

a

na~njyi.

Лучи Га в этом

случае являются плоскими^кривыми. Каждый луч £

лежит в плоскости

размерности 2, параллельной оси ц.

Поэтому в каждом сечении

обла­

сти £ ) такой плоскостью мы получаем

задачу интегральной геомет­

ти х,у.

Пусть

"гО -

полуплоскость у&о , 5 - ее граница,

то есть

прямая у=о . Лучи Ц

соединяют пары точек границы 5.

Чтобы

найти функцию

njx,у)

в области 50 , нужно, конечно, чтобы лу­

чи Ц

лежали в области 50 . Ранее нами было выяснено условие,при

котором лучи

J7 представляют собой вид дуг, лежащих в полуплос­

кости цго.

Условие

это сводится к тому, что функция

па<ц) долж­

на быть монотонно убывающей функцией у . Если функция

njy)

име-

ет по у

отрицательную производную на некотором отрезке [о,ИЗ,то

в полосе

o<,ys:H

пространства

х,у

из каждой

точки

[$,-ф мож­

но провести луч

I2($,vK

имеющий в этой точке

свою вершину и

опирающийся концами на ось у=о.

Именно такое свойство

мы требо­

жем, что условие

n'jyxo

при у^[о,НЗ в совокупности с усло­

вием ограниченности

на этом же отрезке

п"(у)

являются

достаточ­

ными, чтобы

задача

(7)

имела

в полосе

<Он=[(х,у)-.

оауаН}

единственное

решение.

Заметим прежде всего, что лучи

О*,??) ин­

вариантны относительно

параллельного переноса вдоль оси у=о. Это

является следствием

того

факта, что функция п .

зависит

только

от ц и не зависит

от х . Проверим, что дифференциальные

свойст­

ва семейства

кривых

Е($,т?)

удовлетворяют требованиям

теоремы1

ческого луча в одномерной среде. Из формул

(28) , (29) § 5 главы П

в принятых нами здесь обозначениях следует,

что уравнение луча

имеет вид:

j

-fillip

Из

сравнения этой формулы с формулой (15) предыдущего параграфа

следует, что в обозначениях § 3 ,

7•с

Используя для

frpy

прежнее обозначение

р , находим

О )

П-Р'

(p.(p,i2)

Нам нужно изучить дифференциальные

свойства

функции

в

области G={(p7Ti)--

О б р = а ^ «//Т } .

Условие, что п'о(г)<0

при

ze[o,H]

приводит к тому, что подинтегральное выражение

в

формуле (9) имеет интегрируемую особенность

f^-z)"^

и интеграл

(9)

всегда конечен. Из формулы (9)

сразу

следует, что в области

G:

%(Р,Ч)>°,

<pj(0,4)=o.

Дифференцируя равенство (9) по переменной

р , находим

Из формулы (10)следует,

что

t ^ > o

внутри области Or и непрерыв-

но дифференцируема по

р

и 7? . Особо надо

исследовать

позедение

этих производных при

р —- о.

Легко,однако,

показать,

используя

условие

п'/укр,

уе[о,Н],

и условие

ограниченности

п'су),

что производные -|^,

эрЗт?

существуют

при р^-о

и огра­

ничены. Действительно, используя формулу Тейлора,

находим

Здесь 0(р")

означает величину

порядка р"

при

р — о .

Подстав­

ляя

это

разложение

в формулу

( 1 0 ) ,

получаем

э р

Отсюда легко следует, что предельные значения при

р—о

указанных

производных конечны, и в частности

>о.

Таким

образом,

функции

(р^1р,т1)

удовлетворяют

всем

требованиям

теоремы I

§

3 ,

Нам остается проверить,

что

весовая функция, порождаемая

за­

дачей ( 7 ) , также удовлетворяет

условия//! теоремы,

h данном

случае

р=

Используя формулу

( 8 ) ,

можно налти янное

вгрокение

д л я ^ :

^ = J 7 7 ] X F =

* ш .

i n )

Так

как

у=у/хr -$,

тр,

тоv

весовая функция

j> =j)(x-$,•>?).

Из фор-

V

\x l

п.iv)

мулы

( i l ) следует,

что

filO,

V)

= i.

Дифференцируя

соотношение

( I I )

по

зс

и по

, находим

э х

п.гч»

э х

п„ г (^

" ° , 7 Z ' >

Э£_

njyjnjfy)

n'jy)

Э£

(12)

x = i + r-i>* (ft Щ-у,

v)-

172

т.

2Е.

JLSL +

Ж

= 0

Отсюда

Эр

Эу

Эт?

Эт?

эу

_

р

эт?

э р

Из непрерывности

^

Р

и условия

- 1 ^ > о следует

непрерыв-

эр

ность

а я

Тогда из формул (12) заключаем о непрерывности

част­

ных производных весовой

функции.

Итак,

семейство

кривых £(£,?z)

и весовых функций

удовлет­

воряет

условиям теоремы I

§ 3 . Отсюда следует

теорема.

Т е о р е м а I . Пусть-функция

ri(x, у)

представима

в виде

П(х,у)

= псЩ)

+

п1(х,у),

причем функция njy)

задана

и удовлетворяет

условиям

п*(у»о,

<(yl<o,

K ' t y j / < < = ~ ,

0*</бН,

а функция

nt/x,y)

мала по сравнению с

i\iy)

и финитна. Тогда в

области

^) = {(х,у)

.•-•=>= <ос<°°, ойу&Н}

функция п(х,у),в

ли­

неаризированной постановке, однозначно определяется временами

t(x°xi)

для любых пар точек

эс°,

x'eS.

В формулировке этой теоремы есть некоторый дефект. Дело

в

том, что при исследовании

задачи интегральной

геометрии мы пред­

полагали,

что есть от функции njx,y)

интегралы для любых

(£,??j€50. В то же время между

точками

x°xi

и параметрами

£,7?, от­

вечающим концам кривой

ГЦ,У]),

может не быть взаимно

однознач­

ного соответствия. Это связано с возможной неоднозначностью

со­

ответствия паре точек

х°х*е

{у = о}

экстремали

Га[х°х*),

их со­

единяющей. Ранее мы об этом уже говорили при исследовании

одно­

мерной обратной задачи. Взаимно однозначное соответствие будет

обеспечено, если считать, что функция

п0ш}

удовлетворяет усло-

вию

j i

на

"

2 _ In n„ty)^o

[о, И]. В противном случае для справед-

Ч

%[х° х1 ),

ливости теоремы мы должны считать,

что известны времена

отвечающие всевозможным экстремалям, соединяющим пару точек

Отметим еще интересный

случай,

когда

скорость

ЧЩр^хгт воз-