Файл: Романов В.Г. Обратные задачи для дифференциальных уравнений спецкурс для студентов НГУ.pdf

ведения лучей на плоскости х,у.

Мы покажем, что при определен­

ных условиях на функцию

семейство лучей, порождаемое

как в дальнейшем речь будет идти от

исследования поведения лучей

в более или менее произвольном скоростном поле, то индекс

о у

функции Л мы будем до

определенного времени опускать. Рассмот­

рим полуплоскость у^о

и найдем условия, при которых семейство

лучей, порождаемых функцией п(х,у),

обладает "хорошими"

свойст­

щую к оси х . В одномерном случае

мы видели, что это будет

вы­

полнено только в «ом случае, если скороагь монотонно растет

с

ростом

у . Оказывается, что условие

монотонного роста

скорости

по у

при каждом фиксированном

х

являетоя и здесь

при опреде­

ленных

условиях достаточным для

"хорошего" поведения лучей. Для

уравнения лучей. Запишем функционал, связанный с задачей

отыска­

ния луча, на котором реализуется минимум времени,

в виде

х

TIL) = j n i x , y ) U + yx d x .

(13)

д=

(15)

Ofx

'

rfx

> T n S ^ '

( I

6 )

Из соотношении

(15) , (16) легко

понять, что условие

лу <оявляет­

ся необходимым для того, чтобы оемейство лучей имело структуру

кривых ц.Ю § 3 . Действительно,

пусть в некоторой точке

(£, т?)

луч имеет вершину, причем в этой точке

ухх<о,

у^о.

Тогда

из

уравнения (15)

Второе из уравнений

(16) показывает, что это эквивалентно

условию

Лу(*,7)<о.

Так как семейство

лучей должно

(чтобы иметь структуру

а.10

§ 3)

иметь вершину в каждой

точке

принадлежащей не­

которой полосе

0 4

^

4 И, то в каждой точке

этой полосы должно вы­

полняться условие

tiylx,fl<o.

Это условие как раз и эквивалентно

условию монотонного роста по у

при каждом фиксированном

х

ско­

рости распространения сигналов в среде.

Лемма I . Пусть функция

п(х,у)

имеет

в области

&>=\(х,у)-.

-<=~э<сс<«о,

о<,у<г,Н}

непрерывные

и ограниченные производ­

ные до второго

порядка и удовлетворяет

условиям

о<а^п(х,у)<!$<с>о7

о < а 4 - п ^ ^ < ° о .

(17)

Тогда

существует такое число

к

(o^h^H),

что в области

ЮА = {(х,у):-°о<ас<оо

Oi,y<h}

для каждой

точки

( К 7 ? ) 6 ^

существует кривая

/*(£,?),

соединяющая пару

точек оси -х

и пред-

ставимая в виде

причем функция

/ f x , £ , 7 ? )

удовлетворяет

уравнению (14) и имеет

~ЭР

дЗ/

_3«

непрерывные и ограниченные производные

- 2 ^ , -

^ А ^

, " э § ^ -

йе того, для функции

/(х,$,?/)

справедливы

равенства

M s , ? )

=

*Z -

d?(x,

(19)

о < 3t

^ 5(x,k,ч) ^Ьг<

зависящими только от а и £ ,

и имеющие непрерквше и ограничен­

прежде всего, что функция q

обращается в нуль в тех точках, где

ух=о, положительна при у х > о

и отрицательна при у э г <о . Это следу­

ет из формулы (15) . Рассмотрим для системы (16) задачу Копти с дан­

ными

yj^-n,

4k-r°-

( 2 0 )

Если решение этой

задачи

существует,

то оно определяет две функции

причем из условия

п^<о

следует, что ух<о

и,следовательно, у>о

при

х < | и q<o при х > £ . Первое из уравнений

(16) тогда дает

/ = с >о

при х<£ и /3 .<о при х > £ . При х=£

функция fc=°- По­

кажем, что можно выбрать

такое h , что если

($,4)

то реше­

ние

задачи Коши (16) , (20) существует, единственно и продолжило в

обе

стороны от точки

х=£ до пересечения с осью

х . Зададим про­

извольным образом

положительное число

<{„<а

(например, qa = -^a).

Выберем теперь такое

ht

, чтобы для

(£,??)е£^

функция

yte&y)

удовлетворяла

неравенству

a-fWPy)

^ Iql 6 iiUnq-yi

(22)

Поэтому, положив

К-гпш

( Н ,

мы можем быть уверены, что в области 50^^ решение задачи Коши

( 1 6 ) , (20) , при условии, что

(£, 7 2 )еФ А

удовлетворяет не­

равенству (21) . Это обеспечивает

выполнение на решениях, принад­

лежащих области £^ , неравенства

Благодаря этому правые части равенств (16) имеют для

( х ^ е С ^

непрерывные и ограниченные производные по

переменным

у, q,. Таким

образом, для задачи Коши (16), ( 2 0 ) , если

ft,7?)e$0Ai,

выполнены

ремы существует

такая

8 -

окрестность

точки

х=£ , что в области

/х-£|«5

существует

и притом

единственное

решение

задачи

( 1 6 ) ,

( 2 0 ) .

Заметим, что

8

не

зависит от

(£,7£),

так как

правые

части

(16) не

зависят

от

§

, ti

, а

зависит только от констант, ограни­

чивающих сверху вторые производные функций

п, и ранее введенных

констант

а. и (>. Найдем теперь по

о3

положительное число

А^А,

такое,

чтобы для

($,7)6 50Л

решение

задачи

Коши продолжалось

до пересечения с осью х .

Для

этого

воспользуемся априорной

оцен­

кой для

y(x,\,Ti),

следующей из

оценок

( 2 1 ) ,

(22) . Первое из

усло­

вий (16) приводит к двусторонней оценке:

Отсюда

- r ~ J x - f c |

^

4,

,

*

)зс-$|.

Элементарные преобразования приводят к неравенству

7 ? - A z IX-$f

< у

< 71 -

4

IX-tf,

(23)

где

Решение

задачи Коши

y-{(x,$,7i)

заключено, таким образом, меж­

ду двумя параболами, имеющими вершину в точке

(§,TI)

Выберем h

таким образом, чтобы расстояние между точками пересечения с

осью

ми точками равно

. Поэтому выбрав

мы удовлетворим этому требованию, и кривая

^

=

д

л

я

^,7)е£>д

будет

продолжима до пересечения

с осью

х .

Из свойств правых частей

равенств ( 1 6 ) ,

а именно,

из

сущест­

вования у них непрерывных и ограниченных частных производных

первого порядка по

х , у , ^

следует, что

решение

задачи Коши

( 1 6 ) ,

(20)

имеет

вторые непрерывнее и тоже ограниченные

производ­

ные по сс. Более

того, так как правая часть первого из уравнений

(16)

имеет

гладкость на единицу

выше, то отсюда тотчас

следует

существование непрерывной по сс

третьей производной

. Вос­

пользуемся

теперь

известными результатами о непрерывной

зависи­

§§ 1 9 - 2 1 ) . Из них тотчас же следует,

что все производные по ос,о

которых шла речь, непрерывно зависят

от

£ , г\. Из глацкости пра­

вых частей

равенств (16) следует также существование

у функций

72),

Ю

непрерывных и ограниченных при . (ЪЮ^&А

частных производных по £, г}.

Тогда

из уравнений (16), тотчас сле­

дует

существование

непрерывных и ограниченных частных

производных

по

У

ФУНКЦИЙ

/ Х , • q x ,

fxx .

Для завершения доказательства леммы нам осталось

убедиться в

справедливости равенств (18) . Для этого

покажем вначале, что функ­

цию

можно представить в виде

qfr,$,V) = -fee--*) Qfr,t,V\

(24)

где

Q(x,$,ii)

— положительная функция

o<Qt<

Qte,$,T})

^

^ о о ,

(25)

и сделаем под интегралом

замену

переменной

i

на новую перемен­

ную U :

i =

+ ( x - f ) t t .

Тогда выражение для

можно представить в виде (24),где

i

1,11 11Г ii t.it

-,i

i

da.

_,

,

.