Файл: Романов В.Г. Обратные задачи для дифференциальных уравнений спецкурс для студентов НГУ.pdf

Подставляя выражение для

<£fx, £, 7)

из формулы (24) в

первое

равенство (16) , получим для

/з-№,£, ??)

вторую из формул

(18) ,

в которой

8 = - § S

В=

,Q *

, .

(27)

Из полученного представления для

fx

нетрудно получить пред­

ставление (18) для функции /fx,*,?).

Действительно,

dl

Отсюда,

учитывая, что

j($t$t r>) = г?,

находим

(28)

Формула

(28) эквивалентна

первой

из гоормул (18) , если положить

i

А(х,$,71) = j u - B($ +

te-fc)U,

4) cfctt.

(29)

о

Существование у функции

dlx,$,%)

непрерывных и ограниченных

Неравенство (19) для

j#fx,£,?)

можно получить

непосредст­

венно из формулы

(29) , либо

воспользоваться

готовыми

оценками (23).

Лемма 2 . Пусть функция

п(х,у)

удовлетворяет

условиям лем­

мы I , тогда существует

такое число

(о<А0^А)у

что в области

=

/ fx, у) •• - ~ < х < оо,

о «, у ^

}

семейство кривых

Th,Vh

IS,Ю€

'ОА.

и

Ф У 1 1 1 ^

J 3

' ^ V )

= ^ + £ ( х , * , - q Y

удовлетворяют требованиям

п.10 § 3 .

Прежде всего при любом

Aaak

из установленных в лемме I

свойств функцш:

/fx,*, q)

следует

существование непрерывных и

ограниченных частных производных у функции

_/>(х,£,??)

по

х,$,7}.

В то не время

J>lxrb,-q)

> 4.

Таким образом,

функция jD(x,f,>?)

удовлетворяет

указанные

требо­

ваниям.

Свойства

фушщии

/(х,£,7г)

гарантируют также

представимость

семейства кривых

в виде

х = х . ( ^ , ч ) = $ + n ) i (р;(Гп-~у,Ч,ч)7

(30)

где функции

yip,*;,7})

непрерывны в области

G"=. {

( р,

*?) :

- ~о < ^ < « |

о 6 р *

}

вместе

с частными

П Р О И З В О Д ­

НЫМИ

Э(р-

difK

£ ^

Э ^ .

д^Р.

Э29?-

^gjj

эр'

э* '

Э 7 '

эр*1

эрЭГ

эрэ^'

Дейстлительно,

в предположении, что йункция

/(эс,£,7;)

трижды не­

прерывно дифференцируема по х

и обладает

сноаитпами

типа (18) ,

( I - J )

(даже несколько

более слабыш),

нами было установлено в п.2

V 3 , что уравнение каждой кривой

ГИ,У})

:.;ожет быть

представлено

в виде

(30) , причем функции </*(р,Ь V.)

дважды непрерывно дифферен-

цируемы по р .

Из существования непрерывных и ограниченных произ-

зодных по

£, Tf

у функций

L i , fxx

следует существование непре-

рнвннх производных по £ , р

у функций (р. (р.$.р)ър(р-$,>р)

(при этом

существенно,

что ^ ( f . b ^ M c ) . Однако из-за неограниченности по

£

области

Q- из непрерывности производных

(31) еще пе следует

их ограниченности, поэтому на ограниченности

этих

производных мы

остановимся

особо. Ограниченность

самих функций

<^>(р,

в об­

ласти Q

легко

следует

равенства

(18), если его записать в виде

Ш х , Ь ? )

Сравнивая это равенство

с (30) , находим

'

typ.w=-j=

р

Н'г>

( 3 2

)

и,

следовательно,

(р.(0,$,Ч) = О,

ОьЩЦЬф^-щ.

( 3

3 )

Исходя из тождества

получаем

т

= i-Di. *-*44(x,t,V'

I

(34)

Подставляя для

/,

их выражения из формул

(18) и обозначая

через

запишем равенство

(34) в виде

Всм . тг)

Функция

C(x,^,i?)

как это следует

из свойств

функций

A(x,*-,7i),

Btx,$,->i), ограничена

сверху

и снизу

положительными

константами

и имеет

ограниченные

частные производные. Поэтому

0

- 4 * эр * L » •

L *

в* •

Ч - B l

•

Ограниченность

второй

производной

легко

получить про­

дифференцировав равенство

(35) по переменной

р . и воспользовав­

шись ограниченностью производной функции

С(х,$,ч)

по перемен­

ной х. Дифференцируя равенство

(35) по

и по

, получаем

два

соотношения

(36)

э р

l эт?/ ~ ' " L

x

Э 7 ?

+

S

'

которые можно рассматривать как линейные

уравнения первого

поряд­

ка относительно

неизвестных функций

,

.

Так как коэффи­

циенты их уравнений ограничены и интервал

изменения

р

ограни­

чен (о^р&Ш),

то отсюда

вытекает

ограниченность

производных

22'

а следовательно,

из равенств

(36), и огоаниченность

Так как

выражения

Z^l^d,

ограничены,

этого

всегда

можно добиться. Учитывая,

что для lk,4)e

A t

максимально

воз­

можное значение переменной

р

равно

Vft„, из равенства (38)

на­

ходим оценку

( 3 7 ) .

Этим завершается доказательство леммы.

Замечание. Числа

А, Д,,

фигурирующие

в леммах I

и 2 ,

зависят

только от констант, ограничивающих вторые производные функции

п(х,ц),

и констант

а и

t> ,

входящих в неравенства

(17) . В си­

лу этого из доказанной леммы следует,

что в любой полосе шириной

не более

ка,

принадлежащей

области £>, структура тех отрезков

лучей

Г($,12\ вырезаемых выбранной полосой,

которые имеют в

этой

полосе вершину, аналогична

структуре

кривых

Гщ,^)

п.10

§ 3 .

3 . Выводы по линеаризированной постановке обратной задачи. Из

проведенного

анализа лучей

в двумерной среде

уже нетрудно

полу­

ем двумерного

пространства

х, ц.

Пусть функция « j x , ц)

удовлет- -

воряет требованиям леммы I . Тогда

задача (7) в области <Ь={(х,у):

- ° о < о с < ~ ,

о « < / 4 Н }

может быть рассмотрена методом,

изло­

женным в л.10

§ 3 . Из результатов

этого параграфа вытекает, в