Файл: Романов В.Г. Обратные задачи для дифференциальных уравнений спецкурс для студентов НГУ.pdf

о<а ^ пв(х,у)

<

к о о ,

0<а^~Ъ^

n . ( 3 C >V ) 4

1

^ < ^

а функция

п.(х,у)

мала

по

норме

и пред ставима в виде

где (ркеС2[0,Ю,

<РкеС*1-

—,<=-).

Тогда

в области

£>

функция п(х,у),

в линеаризированной по­

становке,

однозначно

определяется

временами

г fx" ос*)

для любых

пар точек

х°х1е{у

=

о}.

Для доказательства

достаточно

область •£)

разбить

на полоски

толщиной не более h„

и воспользоваться

следствием I

§

3. Заме­

(7) нам достаточно знать функцию г , ( х ° х ' )

только

для тех

пар

точек x°xie{y

= o},

которым соответствуют

лучи

/7(£>??),

их

соединяющие и принадлежащие целиком области £>.

Можно получить аналогичные теоремы единственности для линеа­

ризированной

обратной

задачи, связанные с классами функций

В процессе

линеаризации задачи мы предполагали,

что функция

njx,y),

мала и при этом условии получили приближенное равенство

( 7 ) .

Возникает,

однако, вопрос, в каком смысле п±

должна быть

ция п0 зависит только от расстояния до

фиксированной точки,

это

проделано в работе [1031 Получено достаточное условие, чтобы

ре­

шение уравнения (7)

было близко к истинной функции

гц. Мы приве­

дем эти достаточные

условия,

перефразируя на случай

п0=п0(у).

Ус­

ловия эти следующие:

функции

п, и. п

должны быть дважды непре­

функции

п. и [n-nj

- удовлетворять

условиям (17) .

По-видимому,

они являются достаточными и в случае,

когда функция

зависит

от ас и

у.

жение к функции

п, . Объявим его

первым приближением и обозначим

через

По формуле ( I ) найдем первое

приближение функции

п,

которое

обозначим через

п"':

п"'(х)

= п„{х)

+

n f ( x ) .

По функции

n!''lx)

построим лучи

^ ( х ° х Ч

и времена

г*(х°х?).

Тогда для

разности

W X ) - п„м ) (х)

=

П ^ ( Х )

получим приближенное равенство .

в котором

1

'

т*(х;х')

=

т(х;х*>

-

г*и° х*>.

Решая уравнение ( 7 ' ) ,

мы получим

, по которому можно постро­

ить далее

п?=п0+п™,

затем лучи

[^(х'х*),

времена пробега

по ним

т0'х>1х.°х')

и,используя

линеаризацию, получить

уравнение

для третьего

приближения

п1*

и т . д . Вообще,

на

«.-том шаге мы

получаем

уравнение

< " * Л

Й : Х * ) =

5

с ^ )

^х,

в котором лучи

Гк(х°х')

строятся по функции

п'0я1Сх)=Па1х)ч-гг^(х),

а времена

т^**"

находятся по

формуле

•rf'Vrx1 ) = Ttx'x1)

г-

T^lxXx1),

причем

r . ' ^ f x ' x 1 ) — времена пробега

сигнала

в среде,

характери­

зуемой функцией

nl*(x).

Вопрос

сходимости

n^lxi

к

n&d

требует

своего

выяснения:.

Для сходимости, конечно,

существенно, чтобы функции

п!*Ш

удон-

летноряли условиям типа условий на-

nix)

леммы I .

Можно наделать­

ся, что

при

«„(х),

достаточно

близком к

л ( х ) ,

достаточно

не­

скольких итераций, чтобы получить удовлетворительную

точность.

4 . О единственности обратной кинематической задачи. Пусть

об ­

ратная кинематическая, задача рассматривается в области

Ц^о про-

странства ос, у.

Естественно было бы ожидать,

что функция п(х,у),

удовлетворяющая

условиям леммы I

однозначно определяется в облас­

ти £> по временам tlx'x'),

х ° х * е {у=о}.

К сожалению,это

этом направлении

были

проведены

Ю.Е.Аниконовым [9] ,[10] ,[12] , [ 1 3 ] ,

[15] . Мы остановимся здесь только на одном результате.

Т е о р е м а

3 .

Пусть п(х,у) —

аналитическая

функция в об­

ласти цъо, и

щх,о)>о,

Пу(х,о)<о. Тогда она однозначно

определя­

ется в области

у > о

функцией

т(х°х')

для различных

х°,х'е{ц

= о}.

Для доказательства

теоремы достаточно показать, что различным

функциям

п(х,у)

из указанного

класса

отвечают различные функции

Т7х°х*).

Рассмотрим две различных функции

п±(х,у)

и

f\lx,y). Из

их аналитичности следует, что найдется

такая

точка

(х,о)

и такая

ее открытая окрестность

5(х,а)

={(х,у): f x - x ) I + ^ 2 < £ i ,

у>о},

что для точек

(х,у)е

Six,г)

одна из функций

« ^ « ^

строго

разность.

Пусть,

например,

п^х,^)

> nzlx,y).

За счет

умень­

шения

е

всегда

можно добиться, чтобы в замкнутой

области

5(х,£)

были выполнены неравенства

nilx,y)>o,

^-nL(x,y)<o

U=1,2). Тогда

лучи

/^(1°х'),

отвечающие

средам

п€1х,у),

в области

5 ( х , е )

имеют вид дуг, опирающихся на ось- х .

_

Покажем, что для лучей

1?(х'хл),

содержащихся в

(

), отве­

чающие им времена

удовлетворяют

неравенству

S

X,E

Tt(x°x') >

тг1х°х').

Действительно, из неравенства

njx,y)

> nz(x,y)

следует, что

r , ( x ° x ' J =

^ n1[x,y)ds

>§nz(x,y)ds,

£(х°х*)

ГУх'х')

но так как из всех лучей,

соединяющих точки

ос° х*

в среде .от­

вечающей функции

пг(х,у),

минимум времени реализуется на кривой

Г1(х°х*),

то

^ nzlx,y)ds

>

j

i\(x,y)ds

=тл(х°х').

Отсюда и получаем требуемое неравенство. Но это неравенство

озна­

чает, что функции

Tiix'x'),

отвечающие различным

п^у),

не

п(х,у)=щх,у)-1>(х,у),

П(Х,0)>0,

tlytX,0)<0,

где

aix,y) — фиксированная положительная

непрерывно-дифференци­

руемая функция, а

&(х,у)

- аналитическая

в области у&о функ­

ция [

1 5 ] .

5. О постановке

задачи при наличии внутренних источников воз­

шара 5 , содержащего

область

50, измеряются времена пробега

т(х'х%

x°e5D,

х'е S.

Требуется найти скорость передачи сигналов

v(x)=-^~-

для точек are©

( с м . [ П , 1 4 ) ) . Своеобразие этой

за­

дачи заключается в том, что не зная скорости передачи сигналов

вну­

три сферы 5 , мы не вправе считать

известными координаты источни­

ков х \

Более того,

времена пробега

т(х° х*) для каждого фикси­

чала

возмущения), т . е . с точностью до аддитивной

постоянной.

В

предположении, что семейство функций Пх'х1),

отвечающее различ­

ным х* допускает

параметризацию (так что между

х° и параметром

u = (u1,...,uj

существует взаимно однозначное и дифференцируемое

соответствие),Ю.Е.Аяиконовым показано (см . [II] ) ,

что скорость

v(x)

находится по функции

r(x°x J ) в области £> с точностью доконформ­

ных преобразований этой области. Отсюда следует,

что в случае .ко­

гда

область

50 примыкает к поверхности сферы S,

скорость внутри

£>

определяется

однозначно.

6. О частных

решениях обратной кинематической

задачи. В целом

решение обратной кинематической задачи представляет довольно

зна­

чительные трудности,

как в формулировке удачного

вычислительного

алгоритма,

так и в его реализации. Поэтому немаловажную роль

здесь

те [12] им предложен довольно

общий метод разыскания частных реше­

ний. Идея метода

заключается в том, что из некоторых дифференци­

альных связей на заданную функцию

т(х°х')

следуют

(при условии

единственности решения задачи) соответствующие дифференциальные

связи для искомой функции

п(х).

Например, для области ц>о

про­

странства х,ц,

если функция

п(х,у)

удовлетворяет условиям

п

= с +

а

п ч

+Рп =

0 '

П ( Х , 0 ) = СЦХ),

( 3 9 )

то функция

Tlx'x'),

x°xie{y=o}

удовлетворяет

уравнению

+

a-[№(x°)-i£.

+Va*(x<;-E^] +jbx=o.

(40)

При условии

единственности

решения задачи определения

п(х,у)

в

области

у го

по r(x°xJ )

верно и обратное: из уравнения (40)

следует

уравнение

(

3 9 ) .

Этот факт можно использовать для отыска­

ния функции

Шх,ц).

Найдя из (40) функцию

асх) и константы

а

и J J , можно, решив задачу

( 3

9 )

(если <хФо

), найти и функцию

п[хф.