Файл: Романов В.Г. Обратные задачи для дифференциальных уравнений спецкурс для студентов НГУ.pdf

« " М И ц •= ли

+• bwywdu

+ с и и .

(1)~-

Действительно,

если функцию

Шх,1)

подчинить начальным условиям

Шх,-о)=о,

ujx,o)

= oVx-x°),

(2)

то решение

задачи

( I ) , (2)

описывает процесс

распространения

возму­

щений от точечного

источника, сосредоточенного в точке х !

В каж­

дый фиксированный момент времени 4

возмущение от источника

х° за­

хватывает

те точки пространства

х,

для которых время пробега

сигнала

т(х°,х)

от х° до х,.. не превосходит

I . Поверхность

T(x°,x)=i

представляет

из .себя фронт волны от

сосредоточенного

источника. Функции г/х?х)

и

nhc)

связаны друг

с другом

урав­

нением эйконала. Так как от параметра

х°

решение

задачи

(1),(2)

существенно зависит,

то в дальнейшем мы будем обозначать

его че ­

рез

Щх°х,1).

Выделим в пространстве

х

некоторую поверхность

5 , ограничивающую область £ ) .

Пусть

x°eS

и х

- фиксирован­

ная точка

асе. St

в которой мы наблюдаем

за решением задачи

( I ) ,

(2).

Для моментов времени

i<zlx°,x)

решение

тождественно

равно нулю. В момент

времени

^=rte°x)

(прихода

фронта волны в

точку х ) решение становится отличным от нуля и зависит, вообще

говоря, от всех коэффициентов уравнения ( I ) . Таким образом, время

пробега

сигнала

т(х°х)

является функционалом решения задачи (I),

(2).

Поэтому ясно, что если решение известно для всех точек

хе5

при различных

x°eS,

го эта информация о решении содержит в се ­

бе информации о временах

тбх^х), являющихся данными для обрат-,

пой кинематическое

задачи.

Итак, обратная кинематическая задача, связанная с определени­

ем функции

пт,

использует информацию о носителе

функции

«,(х°хД

Интересно, однако,

использовать

само решение как функции

времени,

заданное в точках

поверхности

S, для определения коэф-

Возмущение от точки

х ° приходит в точку х по лучу Г(х°х),

соединяющему эти точки

(предполагается, что на луче Г1х°,х) осу­

тественно, что на решение

и(х°х,1)

сказывается строение

сре­

ды вдоль

этого

луча,

т . е . значение

функций nix),

£(х), с(х). Поэто­

му разумно использовать информацию о решении

a(x'x,i)

в окрест­

ности момента прихода в точку х

фронта

волны для отыскания коэф­

фициентов

the), с(х).

Фактически здесь вдет речь только об ампли­

туде волны в окрестности его фронта. Естественно,

такую постанов­

ку обратной задачи назвать лучевой,

так как амплитуда в окрестнос­

ти фронта волны зависит от геометрии лучей. При дальнейшем

изло­

жении это проявится совершенно

отчетливо.

В связи с тем, что рассматриваемая

нами информация о решении

ute'x,i)

распадается на две части: информацию о временах

т(х°х)

и амплитудах в окрестности фронта волны,

то и задача опреде­

ления коэффициентов уравнения ( I ) распадается

на две. Одна

зада­

ча: определения п(х)

по г(х°,х) — была нами рассмотрена

ранее.

Здесь мы рассмотрим

задачу определения коэффициентов tlx), с(х)

по амплитудной

части решения. При этом мы будем считать функцию

п(х) известной. Сформулируем

точную постановку

задачи.

Постановка

задачи. Пусть

5

- поверхность в пространстве, ог­

раничивающая область

£>, и пусть решение задачи

( I ) , (2) извест­

но для любых

x'x'eS

в моменты времени, лежащие в некоторой

€-окрестности

момента

•£ = т ( х ° х * ) .

Требуется,

при известной

функции

n/х),

найти функции

1(х),

с(х).

Конечно, для того,, чтобы поставленная задача

имела

смысл .не­

обходимо,

чтобы лучи,

соединяющие точки

x ' x ' e S ,

лежали внутри

области

Й.

Сведем задачу ( I ) , (2) к интегральному уравнению. Воспользу­

емся для этого методом С.Л.Соболева

[139 , 140 , 1 4 2 ] , развитым

им для интегрирования волнового

уравнения в переменных

средах.

При этом будем

полагать

х = ( х 4 , х г ,

Х3).

I . Построение

интегрального

уравнения прямой задачи.

Рассмот­

рим фиксированную точку

£ =

2 , $ 3 )

пространства

сс

и вве­

дем наряду с функцией

Шх,1)

функцию запаздывающего аргумента

vlxA)

= и (х, 4-z(x,y)

=

[и(х,4)1

( 3 )

Получим уравнения для

функции

v(x,i)-

Для этого используем

сле­

дующие довольно очевидные формулы:

giadx v(x,i)

=[gw£L0Cuix,l)]

-[щ^А^-

q%adxz(x,\),

-[щ(х,4Ц-йхгСх,у

+ [а«Гх,^]|оооо(х 1(х,у|г

Перейдем в уравнении

( I )

к запаздыванцим значениям

nz(x)[uu]

= [й и] +• kx)lqwuixu]

+ их) [и]

(4)

щие значения ycadu., уъаЛщ

через функцию v(xA~>:

[ytcudй] = (pjxdL v + ut

qiadx,

ЦиаЛ

= qwd \

+ vu

giad

z.

Используя

эти формулы,

равенство (4)

преобразуем

к виду

п 2 vu

= Av

+ 2 /pad vt

• giadz

+

vii-lg^ouizlz-h

+ UtAT+

£(x)(gwd.

v

+ vi

yuadz)

+c(x)v.

Так как имеет место

равенство

Igmc^rfcr.fjN

пг(х),

то полученное равенство эквивалентно следующему:

AV

+ 2 (pxxdv^ • cpjouiz

+- Vt AT +

^

+ E>-((ji£Ldv + Ц qwdz)

+

cv

=

o.

Умножим обе части этого равенство

на некоторую функцию

б(х,$) и

преобразуем его

к виду

6 AV+

dvo[z7!t-6q'wAz

+6&v\

+

+ Vt[6l>-y%adz

—Zqtxxd6qrictdT

- б д т ]

+

4- v [6с -

duff 16h)] =0.

Выберем функцию

б(х,$)

гак,

чтобы коэффициент при

обратил­

ся в нуль. Для этого положим

qtad 6- ynxxdr

+ 6-[лт~(>-^%си1г]

=о.

(6)

Тогда уравнение для функции и принимает вид

б Л?/ + скл/Ыц бдызАт + 68-v) +

^

п -

£>

S

S , a

dS- элемент пло­

Здесь

направление вннешяей нормали к

щади поверхности. Используя для v формулу

(7), . преобразуем фор­

мулу

Грина

к виду

_ Ш

|У до" + dim (zv± б (padT+Ghv)

+ v(6c-

duuo (6&))] d x =

s

Для сокращения записи обозначим через

L6 = Д б " - d i r t

(бУ)

+ сб.

(8)

s

Ъ

п. Вер­

Здесь

4 . ~ проекция вектора

$ = ( 4 > 4 > £ j

на нормаль

немся теперь к прежней функции

utx,i),

используя, что функция

v(-x,l)

определена нами через функцию

и

по формуле ( 3 ) . При

этом.

аи _

Гэц1 _

гэо.1 эг

эп.

1эп J

Lai J' эп '

Полученную формулу в терминах функции

а(х,-£)

запишем в

виде

s

к*)

+

J J J ^

^ f f o f x

= Q

Используя эту формулу, можно получить решение задачи Коши для

уравнения ( I ) . Предположим, для этого,

что

мы можем найти решение

уравнения (6) для функции

б(х,«;)

такое,

что

оно удовлетворяет