Файл: Романов В.Г. Обратные задачи для дифференциальных уравнений спецкурс для студентов НГУ.pdf

следующим условиям:

1 . Произведение

d'(x^)zix^)

имеет

непрерывные частные,

производные до второго

порядка

всюду в окрестности точки

£

и

в ней самой,

причем

2 . Оператор L от

6(х,$)

ОС—*

удовлетворяет неравенству

где

Ж

- некоторая

постоянная.

3 . Если

S -

замкнутая поверхность,

охватывающая тачку

$ , а

а -

направление внешней нормали на ней, то при стягивания

поверх­

ности 5

к точке

£

имеет

место предельное

равенство

tim

[\

—

dS =-4яг.

(Ю)

Если функция

n(x}=consi,

a

i(x) = o,

то функция 6(Х,$),

удовлетворящая всем поставленным условиям, существует и равна

/х-Sff

С.Л.Соболев

показал,

что и в случае переменной функции

п(х)

существует

функция

6[х,$),

удовлетворяющая этим услови­

ям,

если центральное поле лучей

Лх,$),

построенных из точки

f,

регулярно

(то есть лучи не пересекаются между собой). Более того,

функцию

б7х,$)

можно построить в явном виде через геометричес­

кие характеристики

лучей:

зущие направление касательной к

Г(х,£)

в точке

£ ;

*'Z?z-

якобиан перехода от декартовых координат к криволинейным

s, ©„,

<Ро-

Возьмем в формуле

(9) в качестве области

£> двусвязную об­

ласть 50£ ,

ограниченную с одной стороны поверхностью

Si=

{ х =

Tlx,$)=i

},

а с

другой

стороны,

поверхностью

S 4 = { x . - t(x,fc)~e},

W e

6 - сколь угодно

малое

положительное

число. Тогда

Тройной

интеграл при £—-о

сохраняет смысл как несобственный ин­

теграл,

ввиду

интегрируемой

особенности, В результате, переходя

в полученном

равенстве к пределу при £ - » о , находим

+6[u}QdS

+ ^ Щ [ a ] L& dx.

Формула (12) сводит решение

задачи Коши для уравнения ( I ) к реше­

верхностного интеграла функции и, |^

вычисляются в точках

по­

верхности

t(x,k) = l

с запаздыванием на

т{х,$),

то есть

в мо­

мент

1=о,

"л поэтому

известны как данные Коши. Поверхностный

ин­

теграл представляет,

таким образом, известную функции

/<М),

и

для

функции

получаем интегральное

уравнение

+ ^

fyu(x,l-v(x,y)

Ljjlxt)

d&.

(13)

В случае данных Коши (2)

/ М

= ^ ^ х ; * ) - 8 ( 4 - с ( х ' Ю ) .

(14)

471

Для получения этой формулы достаточно учесть, что

db

Ш

dz = dx.

2 . Исследование

обратной

задачи. Функция

представля­

ет собой сингулярную часть обобщенного решения задачи ( I ) ,

(2).Ес­

ли решение (!($,•£)

u(x°£,-U

представить в виде:

(15)

то функция viix°H,i)

- регулярная часть решения,

удовлетворяет

уравнению

W f x ^ )

^6(x°x)L^6lx,$)M-T(x°x)-?frA))dx

+

Ttetfil

(16)

+

$]^te°x,+-'c(x,y)Lx6(x,t-)dx.

для

этого

уравнения сходится при любых конечных

i.

Поведение

решения вблизи фронта

4 = т(х°$}

полностью характеризуется

представлением

(15) . Функция

щв^'Ю

представляет собой амп­

литуду

фронта

волны. Так как в постановке обратной

задачи предпо­

лагается,

что решение

ц/х°£,^)

известно в точках

|=х* принад­

лежащих

заданной

поверхности

5 , в окрестности момента

прихода в

эти точки фронта

волны, то мы можем найти для

х°,

x*eS

функ­

цию

б(х°х*).

Действительно, из формулы

(15) следует, что

vlx°xl)+e

6(х°х') = 4я&т

\

а(х°x'l)

сМ.

(17)

т(х°х')-е

Итак, для

х ° x J e S

функция

б(х°х1)

может считаться извест­

ной. Но эта функция связана с коэффициентами

п,

&

уравнения •

( I )

формулой ( I I ) . Так как функция

п(х)

считается известной,

а

лучи

Г(х°х')

зависят только

от

nix),

то из

формулы

( П ) л е г -

ко

находятся интегралы:

j

ii(x)dxi

=

cpix°xl)

(18)

для

x'a^eS . .

Мы получаем для фуннций

^lx),

i=y,2,3,

задачу

интегральной геометрии. Легко

понять,

однако, что эта задача, в

ф(х*)

-ф(х°)

=

ср[х°х'),

из которого мы просто находим

связь между значениями пункции <р№)

в различных

точнах

поверхности

S .

Отметим, что в

случае

ifx)=^wd ф(х)

уравнение

( I ) мокно

с помощью перехода

к новой функ­

ции

t

v(x,i)

=

и(х,1)е^<х)

привести к виду,

аналогичному

( I ) ,

но

в котором

Ux)

=

o.

Исходя из сказанного выше, естественно разыскивать только ии-

хревую часть векторного

поля

§1х). Пусть

5 -

плоскость

х 3 = о ,

ограничивающая область

хз^о

.

Пведем в рассмотрение

пару Фик­

ций

х 3

a o C

i i

(io)

i=i,Z.

Смысл этих функций становится ясен, если заметить, что частные

производные

от

B J (

fi2

по переменно!?

зс3

совпадают с

проекциями

вихря вектора

£

на оси

х„

а

хг:

=

4

. *

,

6

= ^

6

Для точек

х'х'в

5

~{x3=oJ

равенство

(18)

можно записагБ в

виде

j Bt(x)ds^

+ bjxidxz

=

<р(х°,х').

(20)

Полагая здесь

Р(х) =

4 ' х ^ ^

и используя очевидные равенства

Р(х°1=Р(аЛ=с,

находим

Г(Х°Х')

Г(х°,х<)

о

Отсюда и следует

( 2 0 ) . При определенной

геометрии лучей (то

есть

при определенных условиях на nffi

функции

8,

и Б, . можно най­

ти в области х 3

» о

по функции

у [ х ; х ' ) .

Т е о р е м а

I . Пусть

функция

п = п(х3)

и в области

<£)=[х-- 0 4 Х 3 « / / ,

о<Н<-=~=)

имеет

непрерывные вторые производные,

причем

9^ Е з

2

П(х3 )><7,

п

^ ) < < 9

-

Э ^i£nn(xJ>o,

(21)

а функция

IfxJ

непрерывно дифференцируема в области

SO и Финит­

на. Тогда

функции

B^tx),

6г (х;,

связанные

с компонентами

Функ­

ции 1щ

равенствами

(19),' однозначно

находятся в области

£> по

функции

б7х°х*),

заданной

для любых

э с ° х £ е { х 3 = о}.

Условия (21) обеспечивают регулярность центрального поля лу­

чей и принадлежность их для

х° х* е {xi=o}

области х^о. ';ое

семейство

кривых

Г(х°х')

инвариантно

относительно дви?енп. па­

раллельного

переноса

вдоль

плоскости

хъ = о.

Каждый из лучей яп-

ляется плоским к лежит в плоскости, параллельной

оси

сс3. В целом

мы получаем

здесь

семейство

лучей

А х ° х ' ) ,

зависящее

от четырех

параметров

(каждая из точек

x ° x ' e S

характеризуется двумя па­

раметрами).

Однако, для определения функций

Ь^,Ъг

достаточно

зуясь тем, что кривые плоские, взять семейство кривых, лежащее в

различных плоскостях

xt=consi,

и семейство кривых, лежащих в

плоскостях x^consi.

В каждой из таких плоскостей ми получим

бо 62 1в плоскостях x^consl),

либо E>t (в плоскостях xz=consl).Из

результатов

§ 3 и следует

сформулированная теорема. Конечно, не

обязательно

рассматривать

задач;,

(20) в сечениях,параллельных ко­

вия,

при которых задача интегральной

геометрии для пары функций

имеет

единственное решение. Для этого нужно, чтобы через

каждую

точку

хе€> приходило две кривые

Пх° х 1 ), у которых в

этой