Файл: Романов В.Г. Обратные задачи для дифференциальных уравнений спецкурс для студентов НГУ.pdf

Для случая функции

п(х),

зависящей не только от координаты

х,,

но и в от координат

xt,

х^, можно, основываясь на результа­

тах п.10 § 3 и § 4 о поведении геодезических, доказать

следующую

теорему.

Т е о р е м а

2 . Пусть функция

п(х)

имеет в области

£)={х • с?4х3 £, И}

непрерывные и ограниченные производные

до

второго порядка, причем

0

<

п„<. п(х) ^ Д < ° ° ,

c x « E 4 - f ^ n ( x ) 4

Д , < ° « , (22)

и семейство

геодезических

Лх°х*)

внутри Ф регулярно. Тогда,

если функция

1{х)

дощ'скает

в области

£>

представление

в виде

l(x)=

я

<С

а к ( х , , х г ) с к ( х 3 ) ,

где

ск(х3)

- непрерывно дифференцируемые скалярные функции, а

dllx1,xz)

-

непрерывно дифференцируемые векторные

функции,

го

функции

В,(х),

L\(X)

ИЗ (19) однозначно находятся по функ­

ции

<57х°х*),

заданной для любых

х° х*е

{ х 3 = о } .

Доказательство

теоремы представляется читателю. Отметим, что

условие

регулярности

лучей

локально

(то есть в окрестности плос­

кости

х 3 = о )

следует

из условий (22) . В целом оно будет

выполне­

но,

например,

при выполнении

условия

д

In пщ

>о,

которое

является

аналогом

последнего

из условий (21) .

Мы использовали амплитуды фронта

волны для получения

информа­

ции о козгарициентах

tlx).

Можно использовать информацию и о

регу­

лярной части решения. Зная поведение решения вблизи фронта, не­

трудно

найти

w ( x ° x {

г(х°х*))

для- х ° , x ^ S .

Действительно,

из формулы (15) находим

w / x ^ x ' T f x f x 1 ) )

=

tim

[u(x°,xt-t) - ^ г б ^ х ' У - ^ - г с с ' х 1 ) ) ] .

vtx',xl)

С другой

стороны из уравнения (16) при

I

—-т(х°х*)

получаем

w ( x : x ^ / x : x i ) ; = - ^ 1

Ьп

[\б&:х*)Шх,х')-

——-

S(x-xji)

эа1

'

3

(М)

В этой формуле

S(x°xjij

- временной

эллипсоид

r(X°,X)4-T(X,X1 )=-i.

При

i-^-Tlx'x1)

эллипсоид стремится

к геодезической

Г(х0,х*),

стягивающей

точки

х° х1

В случае

n=i

геодезическая

Гсх'х1 )

представляет собой

отрезок

прямой, соединяющей точки эс'эс' я пре­

дел,

подобный

(23), мы уже вычисляли в § I

этой главы (см. форму­

лы (10) ,

( 1 9 ) ) .

W(х°,х<

/х-х*|)= е

л j

x

. _ x i )

^ ( x : x ) J L x e ( x , x ' ) - I x - x l l x - c n ' l ds. (

fte^x 1 )

Для

случая

переменной

среды

nfx )

интеграл по геодезической

Г(х°х{)

содержит в себе

кривизны нормальных

сечений поверхнос­

тей

tfx°x)

= consl,

т(х,х*)= corLsi

(см. § 4 работы

[128]).

Мы не будем

здесь

выписывать соответствующую

формулу. Заметим

только, что подинтегральная

функция, например, в формуле

(24) вы­

ражается

через

коэффициенты

&(х)

и

с fx)

уравнения ( I ) и поэто­

му формула

(23) (соответственно,

(24) )

может

быть использована

при решении обратной задачи. Довольно

просто

эта задача

исследу­

ется, если

считать функцию

(?(х)

заданной. В частном случае

tt(x)=i,

&(х) = о

это проделано

в § I , в более общем - в рабо­

тах

[126, 1 2 8 ] .

§

6. Обратная динамическая задача для обобщенного

волнового

уравнения

Рассмотрим

в трехмерном пространстве

^ = (х,,х2 ) х3 )

уравне­

ние

пг(х)

ии

= AU

+ С(х) и

(I )

при начальных условиях

а(х,о)

= о,

о , fx, о) = о1, (х-х0 ).

(2)

Если для нахождения коэффициентов уравнения

( I ) используется

ин­

формация о решении

и(хД)

на многообразиях временного типа

(на­

пример, на серии прямых параллельных

оси i

) ,

го задача

отыска­

ния коэффициентов носит название обратной динамической задачи. Это

название подчеркивает, что информация, используемая в задаче.пред­

ставляет

собой

режим колебаний

во времени некоторого множества то­

чек пространства

х .

Информация о режиме колебаний множества

то­

чек пространства

х

может

быть с успехом использована как

для

и(х,4)

= И

(8)

где

и (х,4)

находится по формулам

Ujx,l)

= # х , Д

t>(X,i)

П = 1, 2, 3, ...

Выразим здесь

все

ип(х,1)

через

функцию

/te,4)

и итерирован­

ные ядра. Для этого

введем наряду

с ядром

jft($,-c,x,-£)

итери­

рованное

ядро

нулевого значка

Э?„(£,т,х,4),

положив

Тог­

да

u ' f x ' ^ =

Д - ^ 0 ^

d £ d < r -

( I 0 )

Подставляя

выражение из (10) в формулу (9) при п = я , найдем

ujx,l)

=

%&,z{,x,l)-[

j j

3 l f * , r , ^ r j f o , * ) d $ d t ] el*,

£>(*Д)

Й^,^)

Преобразуем

повторные интегралы,

изменив порядок

интегрирования.

Тогда получим для

ujx,l)

формулу

и^(х,4) =

j j

J ^ , T , x , £ ) - ^ , r ;

dz,

( I I )

50fec,4)

в которой

Я^ . г . х . ^ )

— первое итерированное

ядро-находится

по формуле

# Д 7 , х ^ ! = Jj ^ % , г ; , х , ^

^

dzt.

(12)

Здесь

O f ^ r . x , ^ )

— область в пространстве it,zt,

являющаяся

пересечением двух

коноидов: один из них - коноид с вершиной в точ­

ке

lx,l)

и полой,направленной

в сторону

гиперплоскости

-с.,=о, а

второй - с вершиной в точке

($,т)

и полой, направленной в проти­

воположную

сторону:

Формула

( I I ) для

ujx,t)

имеет

тот же самый вид, что и форму­

ла

(10) для

ut[x,i.).

Поэтому,

вводя последующие

итерированные