Файл: Романов В.Г. Обратные задачи для дифференциальных уравнений спецкурс для студентов НГУ.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 19.06.2024
Просмотров: 168
Скачиваний: 0
мы получим для |
ujx,{) |
формулы |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
j j |
(*,r,a^) |
|
fa,f) |
dtdx. |
(14) |
|
Подставляя выражение для |
un(x,l) |
в ряд |
( 1 0 ) , найдем выражение |
||||||
для |
решения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ШХ.1) |
= f(X,l) + \ J R(t;,T,X,i) |
f(|,T) dfc <k. |
(15) |
||||
Резовольвента |
Kl$,T,x,l) |
уравнения |
( 6 ' ) |
подсчитывается |
через |
||||
итерированные ядра по обычной формуле |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
ЯЪ,т,оЫ) = £ |
|
ftnft.T,хД |
(16) |
|||
Резольвента |
R($,z,x,i) |
является |
обобщенной функцией |
и мо |
|||||
жет быть представлена в виде |
|
|
|
|
|
||||
|
R(t,r, |
х,{) |
= ^L^,x)S(l-t-z^x)) |
|
|
+ Rj$,x,i-z)t |
(17) |
||
где |
R(t,x74-v) |
- регулярная |
часть |
обобщенной функции. |
Это |
становится очевидным, если воспользоваться формулой ( 7 ) . Нулевой
член в ряду (16) и дает сингулярную часть резольвенты. Все |
ос |
тальные члены ряда ( 1 6 ) , начиная с !Я„ представляют собой |
функ |
ция в обычном смысле. Действительно, из формул (12) и ( 7 ) , нахо дим
ад*
6 * jj L * P № |
~ г |
-В Д + т г х ^ Ы - г
Впоследней формуле п - направление внешней нормали к поверхнос ти временного эллипсоида. Последний интеграл оценивался в работе
202
Г128] (см. § I |
главы П ) , с |
той только разницей, |
что вместо |
|
П °Д знаком интеграла стояла функция |
б ^ , ^ ) . |
Но так |
||
как для каждой из этих функций справедлива оценка |
|
|||
при некоторой |
постоянной М, |
и именно только эта |
оценка |
и сущест |
венна, то вывод об ограниченности интеграла остается в силе. Более того, используя тот же самый аппарат оценок легко показать, что ряд для резольвенты сходится равномерно в любой конечной области. Мы не приводим здесь доказательства этого факта, чтобы не услож нять изложение. Используя представление ( 1 7 ) , запишем решение урав нения (3) в виде
z(x,y&i |
о |
|
|
$(х,1) |
|
|
|
Подставим теперь конкретные |
выражения для |
функции |
из |
( 4 ) . |
|||
Тогда мы получим представление для решения задачи |
( I ) и |
(2) |
в виде |
||||
U(x°x,i) |
= -l^r76(x°x)-8li-zlx'',x)) |
+ |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
(19) |
+ |
7Т=Г7* |
L6(k,x)-6lx°§ |
|
|
|
|
|
|
|
J J |
5 |
9 f l L |
|
|
|
|
|
Slx°x,i) |
|
|
|
+~м \\]<>(x',vll($,x,4-z<x;y)dt.
|
|
|
£>(x°x,i) |
|
|
|
|
|
|
В этой формуле через |
S(x°x,l) |
|
обозначена |
поверхность временно |
|||||
го эллипсоида .- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5tx°,x,i) = {$ |
•• |
г(х°$)+Щ,х) |
|
=1 |
}, |
|
|
а через |
G(x°,x,i) |
- |
область |
пространства, |
ограниченная им. Реше |
||||
ние задачи ( I ) , (2) мы обозначили |
в формуле |
(19) через |
iite°x,-i), |
||||||
чтобы подчеркнуть |
его |
зависимость |
от точки |
х" |
приложения сосредо |
||||
точенного |
воздействия. |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 . Постановка |
обратной задачи. Пусть функция |
п(ос) |
известна во |
203
всех |
точках |
пространства |
х |
и такова, что |
поле лучей |
регулярно. |
|||||||
Пусть далее |
функция |
с(х) |
известна |
в области |
х 3 <А, где |
А - |
не |
||||||
которое положительное число. Ее требуется найти в области |
|
x^h |
|||||||||||
по следующей информации: для каждой |
точки |
х ° е { х 3 = о } |
|
известно |
|||||||||
решение задачи ( I ) , (.2) при |
х=х° |
во все моменты времени |
|
,то |
|||||||||
есть |
известна функция |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
U(x:xU) |
= |
<р(х'Л |
|
|
|
|
|
{ 2 0 ) |
||
|
|
|
х°е{х3=о}, |
|
4&о. |
|
|
|
|
|
|||
Исследование этой задачи на единственность сводится к задаче |
|||||||||||||
интегральной геометрии для семейства поверхностей, являющихся |
|||||||||||||
фронтами от |
источников х". Положительный параметр А |
введен |
в по |
||||||||||
становку задачи по следующим причинам. Заведомо ясно, что по |
ин |
||||||||||||
формации (20) нельзя найти функцию |
ах) |
одновременно |
в |
областях |
|||||||||
х 3 ; о |
a X j ^ o Поэтому |
в |
области |
х 3 < о |
ее приходится |
считать |
|||||||
известной. На самом деле |
удобно считать функцию с fx) |
|
известной |
||||||||||
в несколько |
большей |
области |
х 3 < А , |
А>о, |
тем самым |
равномерно |
|||||||
отграничив источники |
х° € |
{ x 3 |
= o j |
|
от области, в которой функция |
||||||||
Ci'x) |
неизвестна. Благодаря |
этому |
обстоятельству фронты волн |
от |
|||||||||
х* в области |
х 3 > А |
имеют |
ограниченную сверху |
кривизну, |
что |
суще |
|||||||
ственно' при исследовании |
задачи интегральной |
геометрии, |
так как |
проведенные выше исследования по этой задаче предполагали ограни
ченность кривизны семейства поверхностей. |
|
|
|
|||
Ыы рассмотрим в |
этом параграфе вопрос |
о единственности |
решения |
|||
поставленной задачи. При этом рассмотрении существенную роль |
бу |
|||||
дет играть |
структура |
фронтов |
г о с ' х ) = т |
в области x 3 > f t . |
К |
изу |
чению этого |
вопроса |
мы сейчас |
я приступим. Чтобы сильно не |
услож |
||
нять изложения, мы ограничимся |
здесь изучением фронтов для |
случая |
п = п (х3 ).
3 . |
Дифференциальные свойства Фронтов.-Пусть точка х ° е { х 3 = о } . |
||||
Ясно, |
что |
семейство |
фронтов в случае n=^nlx^) |
инвариантно |
отно |
сительно |
перемещений |
точки х° по плоскости |
х^=о . Поэтому |
до |
статочно изучить поведение однопараметрического семейства поверх
ностей |
т(х.°х)=т |
в зависимости |
от |
параметра т при фиксиро |
||||||
ванной |
точке |
х ° . Введем для |
этого |
цилиндрическую |
систему |
коорди |
||||
нат т, ср> ц, |
поместив ее начало в точку |
х° |
и направив ось у |
|||||||
параллельно |
оси |
х^. Так как |
фронты |
ггх'х)=-с |
обладают |
осевой |
||||
симметрией (следствие того, |
что п = пйг3 )), |
то достаточно |
изучить |
|||||||
их сечения фиксированной полуплоскостью |
<p = const. |
Представление |
204
о качественном поведении фронтов можно довольно легко составить на основании установленного ранее факта ортогональности фронтов и лучей. Заметим, что условие регулярности лучей в рассматриваемом
случае |
сводится |
к монотонному |
изменению |
п(у) |
(либо n'ty)>o, |
либо |
|||||||||||||
п'(у)<о) |
|
и выполнению неравенства |
(tin |
п(у])"^о. |
|
В случае |
вы |
||||||||||||
полнения |
неравенства |
п'[у)<о |
|
лучи, |
вышедшие из |
точки |
af, будут |
||||||||||||
иметь |
вершину в области |
- у » о , |
а |
в случае |
n ' t y ) > o |
- в области |
|||||||||||||
у =& о . В силу |
ортогональности |
лучей |
и фронтов, |
в |
тех |
точках, |
где |
||||||||||||
фронт имеет касательную плоскость, параллельную оси |
у , |
лучи, |
про |
||||||||||||||||
веденные |
из |
х" |
в эти |
точки, |
имеют касательные,параллельные |
плос |
|||||||||||||
кости |
у=о. |
Следовательно, |
точки |
на фронтах, |
в которых |
касатель |
|||||||||||||
ная параллельна |
оси у, |
совпадают |
с вершинами лучей, выходящих |
из |
|||||||||||||||
точки |
х°. В каждом сечении |
cp^consi, |
благодаря |
регулярности |
поля |
||||||||||||||
лучей такая точка только одна. Качественное поведение фронтов |
и |
||||||||||||||||||
лучей |
для |
случая |
п'(у) |
|
<о |
|
изображено на рис.14. Для |
случая |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п'(ц]>о |
|
достаточно |
изменить |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
направление |
оси |
у |
на противопо |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ложное. Через |
У |
|
на этом рисун |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ке обозначена |
у - |
координата |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
точки, в которой фронт имеет вер |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тикальную касательную, |
а через |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
у[ - аналогичная координата вер |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
шины фронта |
в области |
у>о. |
Нас |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в дальнейшем будет |
интересовать |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
поведение фронтов только в обла |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сти |
y>h>0. |
|
|
Наша задача |
здесь |
||||
|
|
|
Рис.14 |
|
|
|
|
|
заключается |
в том, |
чтобы показать, |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
что семейство фронтов в области |
|||||||||
|
обладает свойствами, |
которые мы предполагали |
выполненными |
при изучении задачи интегральной геометрии для семейства поверх ностей. Вспоминая требования п.8 § 3 , заключаем, что для этого
достаточно показать, чго уравнение поверхностей т(х°х)=г |
в об |
|||
ласти |
может |
быть представлено |
в виде |
|
|
|
t = ((frfy, |
-ц), |
(21) |
где функция |
/(р, ^) |
удовлетворяет |
условиям |
|
|
|
|
э_ |
(22) |
|
|
|
ар |
|
|
|
|
|
205
я имеет непрерывные вторые производные |
fpp> |
^ . |
|
|
||||||||
Для |
случая |
Пу>о |
|
это действительно |
так, и будет |
следовать |
||||||
из дальнейшего. Однако в случае |
п^<о, |
как видно из рис.14,если |
||||||||||
iy>h , то в области |
у.^-к |
уравнение |
фронта |
не может |
быть |
пред |
||||||
ставлено |
в виде однозначной |
функции у . Мы покажем в этом |
случае, |
|||||||||
что в области |
5<у |
^т? <И { А < Н < ° ° ) |
представление (21),(22) |
|||||||||
имеет место и, кроме того, |
покажем, что для |
|
разность ^ - i s |
|||||||||
ограничена снизу положительным |
числом. Это будет означать, что |
|||||||||||
любую конечную полосу |
h^y^H |
можно разбить на конечное |
число |
|||||||||
полос, в каждой из которых семейство фронтов удовлетворяет |
требо |
|||||||||||
ваниям, предъявляемым к семейству поверхностей |
задачей интеграль |
|||||||||||
ной геометрии |
(см. п . II |
§ 3 ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Для доказательства |
воспользуемся |
формулами |
(22) , (23) § 5 гла |
|||||||||
вы П. Чтобы не путать постоянную вдоль луча |
р , входящую в указан |
|||||||||||
ные формулы, с переменной |
р^А-ц-у , |
мы обозначим постоянную лу |
||||||||||
ча через |
^ . Тогда формулы, описывающие |
уравнение луча и время |
||||||||||
пробега |
по нему, имеют вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
z_\ |
<idz |
|
|
|
т |
= |
Г nzmdz |
{ 2 |
3 ) |
|
|
О |
У |
О |
y |
|
Формулы |
(23) справедливы во всей области у^о, если |
п'(у)>о. В |
||||
случае |
n'(yl<o |
|
они верны только до точки |
заворота |
луча, то есть |
|
только в части |
области |
у ^ о , ограниченной |
с одной |
стороны осью |
||
у , а с другой |
кривой |
|
|
|
||
|
|
|
|
? _ ^ ^ z _ = |
|
( 2 4 ) |
представляющей собой геометрическое место вершины лучей, выходя
щих из точки |
а". Напомним, что в вершине луча |
параметр |
q совпа |
|||||
дает |
со значением функции |
п(у), принимаемым ею в вершине луча. В |
||||||
силу |
условия |
регулярности |
поля лучей |
i = i*(-y) |
является |
монотон |
||
но возрастающей функцией |
у |
(см. § 5 |
главы I I ) . В дальнейшем |
мы |
||||
будем |
рассматривать только |
ту часть |
области y^h, в которой |
име |
ют место формулы (23) , и покажем, что семейство фронтов может быть
представлено в этой |
части области в виде (21) , (22) . Заметим для |
||
этого, что равенства |
(23) можно рассматривать |
как уравнения неяв |
|
но заданных функций |
|
|
|
|
у = уп,т), |
q = q,(i,T). |
i25) |
206