Файл: Романов В.Г. Обратные задачи для дифференциальных уравнений спецкурс для студентов НГУ.pdf

триады непрерывные дифференцируемые

функции по у, ц

(выражение

пгт-д?

может

обращаться в нуль

только в случае

п'(у)<о на ли­

нии i

= x*{y)).

Чтобы убедиться в

возможности применения в дан­

вие необращения в нуль якобиана

g ^ |.

Вычисляя соответствую­

щие производные

из равенств (23) , находим

at

д

э т _

rfiy)

(26)

У nztz)dz

з г

f

nz(z)dz

9 9 ~ М [пНг

Из этой формулы ясно, что в рассматриваемой

области якобиан в нуль

не

обращается

(за исключением возможной при

пЧц)<о

линии

i

= r*(y)).

Поэтому равенства (23) определяют две функции (25) ,

имеющие такую же гладкость, что и правые части равенств

( 2 3 ) , то

Из этой формулы ясно,

что с ростом 1

ордината

фронта

монотонно

убывает. При х=о, как ясно из формулы

(23) , q=o я yx(p,t)-o. В

этой точке мы имеем максимум ординаты фронта, то есть

вершину.Обо­

значим

у(0,т) = 71.

(29)

Вторая из формул (23) дает

нам при q=o формулу

обратного соответ­

ствия между с и Т2

'•

ъ

(зо)

т= \n(z)dz.

Из нее

становится ясно

также, что это

соответствие монотонно (так

как

щ~п1т2)>о)

и трижды непрерывно дифференцируемо. Запи­

шем его

в виде

T=T(?I).

Тогда

функция

у= F(t,T?)

==

y(t,Ti7i))

имеет

по

т

и

7 ? непрерывные производные до третьего порядка и

при х-о

имеет максимум, равный

7

? . Нам теперь достаточно про­

верить,

что

Fx%lo,T})^o,

чтобы,ссылаясь на исследования, про­

(22) .

Дифференцируя равенство

(28)

по

t

, находим

з т 2

V

' ч

[reaj)-f]^

эх

1пгф-$Ч*

эх'

В то же время

ЭЯ =

эу

п*(у)

r f

у*

Эх

Э(т,%1

пг(у)-^'1)

[пЧгус^У^!

•

Из этих формул

следует

ч

о

и при любом конечном

r^h

мы имеем

F^T(o,ii)<0.

Как мн уже говорили выше, свойства функции

F(X,TI)

обеспе­

чивают представление

семейства

фронтов в виде ( 2 1 ) ,

(22) . Для

случая

п'(у)>о

это представление

имеет место

во всей

области

y>k,

а

в случае

п'(у)<о

только

в той ее части,

которая за­

ключена

между осью у

и кривой

Z = x*(y).

Покажем, что

в по­

следнем случае можно любую конечную область

h^y^U

разбить

на конечное число

полос

50^= { ( т , у):

ук^у

*s y^t

} ,

что

часть поверхностей фронтов, примыкающая непосредственно

к их

вершинам и лежащая в полосе

£>,<,

представима

в виде

( 2 1 ) ,

(22) .

Возьмем фиксированное

ipefft, НЗ

и обозначим через

i у -коор­

динату точки пересечения фронта с кривой

i~t*(y)

(см.рис14).

Покажем,

что разность

7 - i

при

ограничена

снизу

некото­

рым положительным числом. Отсюда и будет

следовать

сказанное

выше. В соответствие

со

второй

из формул

(23) имеем равенство

Преобразуем последний из интегралов к виду

у

Т

nto-nHs) dz

и оценим его снизу. Для этого

заметим, что для любого конечного И

из условии пЩ)>о ,

п'(у)<о

и непрерывности nty) и ее производ­

ной следует, что существуют

также конечные положительные констан­

ты а и Ь, что на [о,HI

имеют место неравенства

Тогда

nzm- nz(*) =

[пт+п(}>)][п(ъ)

- n c s ) ] ^

z&*{x-z\

ПШ + ^ПЧЪ-ПЧЯ

« Zn(T)

^zt

О

Для

из равенства (31) , находим

Но так как с другой стороны

J niz)dz

« £f-»z-i),