Файл: Романов В.Г. Обратные задачи для дифференциальных уравнений спецкурс для студентов НГУ.pdf

э 9

fn 2 ty) - o/ Щ

\

(пЧх)-^?*1

О

Окончательное выражение для якобиана принимает

вид

_ llrtta-fKitw-tf]

ГУ

gate

fV

f t W z

ars, 6»01 <pj

n(</)

' J 4 т Ш ^ ' J

W-m-cfTb-

•

Из формулы (33) получаем выражение для 6~ix°x):

Формула для

бЩх)

симметрична

относительно

х° и х , поэто­

му

&(х°х)

= &(х,х°).

Кроме того,

из

этой

формулы следует,

что

в этой

области,

где

для

фронтов

имеет

место

представление ( 2 1 ) ,

( 2 2 ) , функция

67х°х)

является

гладкой

функцией. В вершине

фронтов

T=amsi

функция 6(х°-х)

принимает

значение,

равное

о

При

т? € [h,

И]

это

выражение ограничено

сверху

и снизу

положи­

тельными константами.

4 . Исследование обратной задачи. Покажем теперь, что при оп­

ределенных условиях

на коэффициенты

уравнения I I )

сформулирован­

ная

выше постановка

обратной задачи

имеет

смысл. А именно, уста-

сящей только

от переменной х 3 , причем

п(х3)>о,

l n 7 x 3 ) | > o ,

[In Шх,) ) >о,

а коэффициент

с(х)

в области x3<h (h>o)

известен и принадле­

жит С1, а при х » А

финитен и представим в виде

Я

е ( х ) =

g

a^x^xj-lj&J,

(36)

где

а

£к

- непрерывно дифференцируемые функции своих

аргумен­

тов.

Тогда

в области

аг3>/г

с(х)

однозначно определяется ин­

формацией (20) .

Доказательство

теоремы проведем рассуждением от противного.

Допустим,

что существуют два решения обратной задачи

c j x ) , c j x ) ,

удовлетворяющие условиям теоремы. Обозначим через

ц , и г отвеча­

ющие им решения задачи ( I ) , (2) при с=с,

и c=c t

соответствен­

но.

Обозначим

также через

L'

операторы

С — А

+ Ct ( х ) ,

t = 1,2.,

и через Я' отвечающие им резольвенты. Пуоть далее

щ - иг = й,

ct - с г = с.

Напишем два уравнения

( 3 ) , заменив в нем и. на щ и

L

на Г

(i = i,2),

и вычтем из одного

второе.

Тогда

получим

U(x,l)

=±

Щ

^ ) o - ( ^ x ) « J ^ , 4 - r ( * , x j ) d * +

(37)

+ 4

ffi

4 & ( * > а ) - 1 и ^ - г ^ х ) ^ -

Структура

этого уравнения относительно й.

такая же, что и урав­

нения

( 3 ) . Поэтому для него

имеет место формула (15) с

заменой

R на ft' и

f[x,l)

на

а о ^ ) = 4 * [ff с1Ю[б(1ос)^,1-Щ7т:))

+Jfti,oc,i)]d$,

(38)

U

fx, i - t ) = {

••

СТ

) * * - r } .

Так как функция:

uz[x,i)=c

для

4 < т ( х * х ) ,

то отсюда следует,

во внутренность временного

эллипсоида t>(x'x,i).

Тан как реше­

ние задачи ( I ) ,

(2) зависит

от

х^ то мы отметим эту

завжсимость

явно, используя для решения, прежнее обозначение

Шх°.х,-£).

При

этом

2 | 1 ? 1 ; * , ! е й

( ] } ^ Л ^ ^ М ^ э д ) *

50ftr?x,«

_

( 3

8 }

Положим

здесь

х = х ° е { х з = с } .

Тогда

Псх°х°,1)

= о ,

х ° б { х з = о } ,

в силу исходного предположения о существовании двух

решенА

с± (х),

c j x j

при одних и тех же данных

( 2 0 ) . Это приводитнас

к равенству

Здесь

£)fx?x°^)

- область пространства

f , ограниченная фрон­

том

U^X°X,l) ~-^6(Х°Х)-8{1~Т(Х°Х))

+ w a ( x ° x , i ) ,

^ |||g - ^) - 6^,x < ')6№:f) - 5a - 2 T (^x''))^

+

T^,x")iVz

В этой последней формуле первый из интегралов

преобразуется к по­

c($)j>fx°,M)cM^ +

окончательная формула принимает вид

верхностному иT(^x°)Я -i

(40)

2

Производную

э

нетрудно

S

5 ^ г ( х ° и

вычислить и непосредственно,

исходя из формул (23) , а можно для этого

использовать

равенство

( %, у

- цилиндрические координаты, введенные ранее):

и то, что Гт.=о, . Отсюда

Ту №° х ) =

ЫЩ)-^'.

В равенстве (40) с7$) = о

в области

ссъ< h. ,

так как по ус­

ловию теоремы коэффициент

с(х)

в области

х 3 < &

известен.Вы­

берем произвольное Н>&

и область

£>={х•• А 4 Х 3 < Н }

разобьем

на полосы

так,что для фронтов

r(x° $ ) =»^/2

имеет

внутри каж­

дой из полос представление

(21) , (22) . При этом в каждой паюсе

j3, j}f

являются гладкими

функциями, и функция j> в вершинах

фронтов ограничена положительными константами

сверху и снизу. Из

соответствующих результатов

по интегральной

геометрии (§3)

тогда

следует, что в классе функция (36) равенство

(40) может быть вы­

полнено только в том случае,

если cYx)=o.

Тем самым сАх)

=

= c j x ) и теорема доказана.

К сожалению, теорема не дает конструктивного алгоритма

для

построения решения. Отметим,

однако, что в том случае, когда об­

но,

предположим, что функция

с(х)

представима в виде

С(Х) =

С Г ( Х ) +

С~(Х),

где

функция

сг(х)

известна,

а функция £(х)

мала и ее

носитель

содержится в полупространстве

x3>h.

Тогда

представляя решение

и(х°х,1)

в виде

u(x°x,i)

= и г

( х ° х , * )

+-

Ulx°x,l),

где

иг(х°х,1)

—

решение

задачи ( I ) ,

(2) при

с = с г ( х ) ,

мы полу­

чим с точностью до малых порядка

б"г

уравнение (38) . Так как uz

находится по

cz

,

то

U(x°x,i)

известно при

х = х ° е

{у=о~}

и

i^o.

Решение уравнения (38) для

Zlx)

представляет

собой

задачу

интегральной геометрии, для

решения которой у нас

есть

конструктивные

алгоритмы.

§ 7. Обратная задача для уравнений

эллиптического и параболического

типов

Теория многомерных обратных задач для уравнений эллиптическо­

го

и параболического

типов развита

значительно

более слабо, чем