Файл: Романов В.Г. Обратные задачи для дифференциальных уравнений спецкурс для студентов НГУ.pdf

иных позиций,

существенно упростив технологию выкладок.

I . Задача

об определении плотности тепловых источников. Рас­

смотрим для уравнения

Щ =

Д ^ " + cpUhfay)

( I )

задачу определения функции

{(х,у)

в области

цъо

пространства

х,ц, x=(xi,...,xri),

если

известно, что решение

уравнения

I I )

при условиях

Шх,у,о)

= о,

t y x , o , l ) + h

u.(-x,o,l) = o

(2)

принимает в точках

плоскости у=о

заданные

значения

Щх.,0,1)

= flx,{).

(3)

При этом q>(l) считается

заданной

функцией,

h - заданным конеч­

ным числом.

Поставленную задачу

можно трактовать как задачу об определе­

у>о

. Функция

/fx,у)

как раз и определяет

их плотность. Несмо­

тря на кажущуюся надуманность, поставленная задача имеет опреде­

ленный физический смысл. Если функция

cpd) = e - J U *

то эта

задача связана с задачей определения плотности радиоактивных ис­

точников тепла по тепловому

излучению на поверхности Земли. При

этом

Ав - период полураспада

радиоактивного

элемента.

По отношению к сформулированной обратной задаче имеет место

теорема.

Т е о р е м а

I

. Пусть функция

/bc,yj

суммируема с квад­

ратом в области

у^о

, а функция

\(р(1)[фо

и растет при

i—?-<=•=> не быстрее,

чем

С е а < ,

где а - фиксированная констан­

та. Тогда функция

/fx, у)

однозначно

определяется функцией

F(x,i).

Применим к уравнению ( I )

преобразование Лапласа по перемен­

ной

I и преобразование Фурье по переменной

х :

- е о

О

Для возможности

его применения будем считать Д г р х х . Обратное

преобразование

записывается в виде

Уравнение ( I ) при этом преобразовании переходит

в уравнение

й^-(р+1/чл№

+ 4>(p)J(ju-,y) = o,

(6)

о

a f!fi,y)

—

преобразование Фурье по

х

функции

^(эс,^).

Граничное

условие^ 2)

преобразуется к виду

а данные

(3) к виду

й(/а,0,р) =F(fJ.,p),

(9)

где

F{p,p)

-

преобразование Фурье по

ос и Лапласа по

I

функ­

ции

F(oz,l).

Решение уравнения (6) при условиях

(8), легко достроить, ис­

пользуя функцию Грина

G(y,v,

fp+T/IF)

для этой задачи.Функ­

ция

G(y,y,/l)

удовлетворяет

по переменной у

в областях

О^у^ц,

У/ « у р а в н е н и ю

GV!/-llG=o,

-Х = 1р+1(л.1\

(Ю)

граничному условию при

у=о

:

№v+b.Cr)^=o

( I I )

и условию ограниченности при у-~°°,

непрерывна дри ц=-ц, а

ее

производная по

у в точке у=у

имеет конечный скачок,

равный

единице

Последнее условие эквивалентно тому, что функция

С?(у,т?,Я)

явля­

ется обобщенным решением уравнения

-FQ-SLy-T}).

(13)

шения уравнения (.10) имеют вид

и е _ Я ^ . Комбинируя

из

них два решения уравнения (10): одно - в области

o s y ^ ? ? ,

удов­

летворяющее граничному условию ( I I ) и второе решение - в области

<у»т? , удовлетворяющее условию ограниченности при ^->-°°,

полу­

чим, что функция Грина имеет вид

= ( Л С Я < А ^

- Л ж я у ] ,

от*.-*,

I Ве_ 3 Ч

у>7).

В этом уравнении ,ц

играет роль параметра. Функция

(р(р) явля­

ется

аналитической функцией в области Rzp>a.t

поэтому

она мо­

нет

обращаться в нуль

только на отдельных линиях, и в отдельных

точках. В силу этого

равенство (16) можно записать в виде

Т

= Ф ( ( а , Я ) ,

« 7 )

) е-^Ь^П)^П

о

где функция

ЯРШЫк-Л)-

Fi(l'f~,fJ-]Z)

(18)

известна в области

Вл (Al-lfil*)>oc,

ЯгЯ>о,

представляющей собой в комплексной

плоскости

Я=б+£ г

внут­

ренность гиперболы:

б" > V а + 1/1Г+Т*

(19)

Функция

Фс^Д )

является, как видно из формулы (17) , при каж­

дом фиксированном

fx преобразованием Лапласа по переменной

функции

flft, "ф-

Но функция

flp-,4)

вполне

определяется значе­

ниями преобразования Лапласа

внутри

области

(19) . Она может быть,

например, подсчитана по формуле

в которой

интеграл, при каждом фиксированном 6 , берется по пря­

мой , параллельной

мнимой оси т .

Итак,

функция

ftp-,?})

однозначно находится по функции

F(x,i).

Следовательно, и функция

f(x,y)

однозначно определяет­

ся этой функцией. Тем самым, теорема доказана.

2 . Обратная задача для одного уравнения эллиптического типа.

Рассмотрим теперь

в области

цъ-о

пространства х,-^, х = (х 4 ,

^ . . . . x j уравнение

лху

и = (аг+р£(х,у>) и. + 8(х-х1-8ц).

(20)

Здесь аг- постоянная, р - параметр (р»о); ос-произвольная

точка плоскости ц-о

. К такому уравнению мы приходим,

выполняя

вание Лапласа. При этом

р (или V/7 )-параметр преобразования.

Пусть с уравнением

(20) связано граничное условие

[u9

+ hu)

0=о,

/ А / < - о .

(21)

Рассмотрим задачу

определения коэффициента

&(х,у)

по следующей

информации:

f -

U(x°,p,x,y)l

=/fcr:x) .

(22)

р

-'

, 'V=°. Я=о

При этом предполагается, что х

и

х°— произвольные точки пло­

скости

у = о.

Т е о р е м а

2 . Если функция

й(х,у)

суммируема с квадра­

том в области у>о,

то она однозначно определяется

в этой об­

ласти

заданием функции

/(х° х).

Для доказательства теоремы вычислим левую часть

равенства

(22) . Представим для этого решение

задачи

(20) в виде ряда по па­

раметру р :

< ?

с >

Ш х ° р , х , у ) =

TLopnU.n(X°x,y).

(23)