Файл: Романов В.Г. Обратные задачи для дифференциальных уравнений спецкурс для студентов НГУ.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 19.06.2024

Просмотров: 163

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

изменить понятие корректности задачи.

Из теории обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных известно, что дифференциальное уравнение оп­ ределяет целое семейство решений, зависящее либо от некоторого числа произвольных постоянных, либо от некоторого числа произволь­ ных функций. Чтобы задача имела определенный физический смысл, не­ обходимо выделить из всего класса решений дифференциального урав­ нения то единственное решение, которое описывает данный физичес­ кий процесс. Такое выделение осуществляется обычно заданием до­ полнительной информации о решении, чаще всего это задание началь­ ных и граничных условий для дифференциального уравнения. Поясним это на примере. Уравнение

 

 

 

• « и - с Ч * х

 

 

 

( I )

описывает

процесс малых колеоаний струны. При этом функция

и(х, 1}

 

равна смещению струны в точке

х

в момент

времени i от

положения равновесия, совпадающего с осью

х . Числовой коэффици­

ент с

характеризует скорость передачи

сигналов в струне (ско­

рость

звука). В случае конечной струны

ахаХ,

закрепленной

в точках

х=о

и х=Х, естественные

граничные условия для урав­

нения

( I )

имеют вид:

 

 

 

 

 

 

 

n(o,i)^o,

u[X,L}=o.

(2)

Однако задание условии (2) не достаточно для выделения единствен­ ного решения уравнения ( I ) , Чтобы оно было полностью определено, необходимо задать еще начальные условия, которые сводятся в дан­ ном случае к заданию смещений струны и начальных скоростей ее то­ чек:

и (х, б) = Cf>(X), ыг (х, ol = (j)lx). ' (3)

В курсах математической физики показывается, что задание началь­

ных условии (3) и граничных условий (2) однозначно

определяет ре­

шение уравнения ( I ) .

 

 

 

 

В случае уравнения теплопроводности

 

 

 

щ=ли,

 

(4)

рассматриваемого в конечной области пространства

х

=[xa,xz,x3)t

ограниченной поверхностью

S,

для выделения однозначного решения

достаточно задать тепловой

режим на поверхности 5 , например:

nlxDJ

= / М ) ,

 

(5)

32

и начальное распределение температуры внутри .5:

 

nivz, о) = ср(ос).

(6)

Итак, задание начальных и граничных условий преследует цель выде­ ления из всего класса решений дифференциального уравнения единст­ венного решения. Вместе с тем таких условий должно быть минималь­ ное количество, иначе они могут вступить в противоречие друг с другом. Другими словами, задаваемые условия должны обеспечивать существование решения дифференциального уравнения при произволь­ ном выборе функций, входящих в эти условия, из некоторого функцио­ нального множества.

Подчеркнем еще одно существенное обстоятельство. Рассматривая данное дифференциальное уравнение с заданными граничными и началь­ ными условиями, мы можем ставить задачу отыскания его решений.при­ надлежащих, вообще говоря, различным функциональным пространствам. Выбор их диктуется, как правило, физическим смыслом задачи. Напри-

мер, можно рассматривать задачу

отыскания решения уравнения

( I )

при условиях ( 2 ) ,

(3) в классе

дважды

непрерывно-дифференцируемых,

в любой конечной

области пространства

эс, i функций, я можно

рас­

сматривать задачу об отыскании решении того же уравнения, при тех же самых условиях, принадлежащего множеству дважды дифференцируе­ мых функций, суммируемых со степенью р . Другими словами, мы можем выбирать достаточно произвольным образом функциональное простран­ ство решений дифференциального уравнения. При этом функции, входя­ щие в граничные и начальные условия, не могут быть произвольными, они должны обеспечивать принадлежность решения дифференциального уравнения выбранному функциональному пространству. Для этого они сами должны принадлежать некоторому функциональному пространству (вообще говоря, не совпадающему с пространством отыскиваемых ре­ шений). Это становится особенно понятным, если мы посмотрим на за­ дачи для дифференциальных уравнений с точки зрения функционально­ го анализа. Действительно, выберем функциональное пространство U решений дифференциального уравнения. Дифференциальное уравнение в совокупности с начальными и граничными условиями определяет опе­

ратор Л, который ставит в соответствие любому решению ие U на­

бор функций, входящих в дополнительные (начальные

и граничные)ус-

ловия. Для уравнения ( I )

это функции . <pfccj, <р(рс),

а для уравне­

ния

(4) — функции f(x,i),

(floe).

Рассматривая

этот набор функ­

ций

как элемент ]• функционального пространства F ,

мы получаем,

что

решение задачи для дифференциального уравнения

 

эквивалентно.

33

решению операторного

уравнения

 

 

 

 

 

 

du = /

(7)

при условии, что

« е

U

. Чтобы решение этого уравнения

существова­

л о ,

необходимо,

чтобы

/

являлось образом некоторого элемента

ueU,

т . е . принадлежало

множествуi являющемуся областью значений

оператора d . Таким образом, множество данных задачи вполне опре­

деляется заданием пространства решений U.

 

Условия существования

и единственности

решения уравнения (7)

гарантируют существование

обратного операторам? :

 

u = d"f,

(8)

который и решает задачу, ставя в соответствие данным задачи,т.е. элементу / , решение ueU, Необходимо, однако .вспомнить, что ос­ новная цель, для которой решаются математические задачи, заключа­ ется в математическом описании физических процессов. При этом данные задачи берутся из опыта и они не могут быть измерены аб­ солютно точно, то есть в данных задачи всегда присутствуют ошибки измерения. Поэтому, чтобы математическая постановка физической за­ дачи описывала реальный физический процесс, к задаче необходимо предъявить еще некоторые требования, которые отражают физический факт малого измерения решения при небольшом изменении данных, или, как принято говорить, устойчивости решения к малым возмущениям входных данных. Сформулируем сказанное выше на принятом в матема­

тике языке. Поскольку

мы видели,

что прямые задачи для дифферен­

циального

уравнения приводят к решению уравнения ( 7 ) ,

то мы сфор­

мулируем понятие устойчивости решения для этого уравнения.

Итак,

пусть рассматривается

уравнение (7), где

Л

-

оператор,

действующий из некоторого метрического пространства

U в метричес­

кое пространство F.

Говорят, что

решение уравнения

(7)

устойчиво

к малым изменениям правой часта

fe

F уравнения ( 7 ) ,

если для лю­

бого е>о

найдется такое. 8>о ,

что для любого элемента

F для

которого

 

•Mb

 

< *.

 

 

 

выполнено

неравенство

 

 

 

 

jXjl-u. й)< е.

 

 

 

 

 

 

 

 

При этом

 

Для нелинейного оператора

А

устойчи­

вость зависит, вообще говоря, от элемента / . На одних элементах оператор может быть устойчив, на других нет. В случае линейного оператора А устойчивость или неустойчивость имеет место сразу для

34

всех элементов {е. F.

Математическая задача решения уравнения ( 7 ) , удовлетворяющая требованиям существования, единственности и устойчивости к малым изменениям входных данных носит название корректной задачи. Сфор­

мулируем это понятие более точно.

 

 

 

 

Пусть Л -

оператор, действующий из метричеокого пространства

U

в метрическое пространство F.

Задача решения уравнения

(7) на­

зывается поставленной

корректно

на паре пространств ( J , F,

если

она

удовлетворяет следующим требованиям:

 

 

 

 

1)

Решение

задачи

существует

при любом

/е F

и принадлежит

пространству

U,

 

 

 

 

 

 

2)

Решение

задачи

единственно в пространстве

V.

 

 

3)

Решение

задачи

устойчиво

на любом элементе

-f^F.

 

 

Отметим, что задача может быть корректна

на одной паре

прост­

ранств и некорректна на другой. Ясно, например, что при расшире­

нии пространства F можно прийти в противоречие

с требованием су­

ществования решения при любом /е F

. В том случае, когда

оператор

d линеен, для корректности задачи

(7)

на паре

банаховых

пространс

ранств U,

F необходимо

и достаточно,

чтобы для

оператора

Л

су­

ществовал

ограниченный

обратный Л

, действующий из F

в

U,при­

чем область определения обратного оператора совпадала с простран­ ством F (см. [98J. стр.507).

Приведем пример корректной задачи. Рассмотрим для простоты не­

ограниченную струну - о о < ос < + = > о .

В этом случае достаточно

для

уравнения

( I )

задать начальные условия в виде ( 3 ) . Будем считать,

что функция

if(-x)

является дважды непрерывно дифференцируемой,

а функция

ф(ос)

один раз непрерывно дифференцируемой в любой ко­

нечной области, т . е . при любых конечных а и 6

срсх) е

Cz[a,S]t

c^fcje С

 

Пусть решение u(ocj)

уравнения ( I )

разыскивается

в классе функций, имеющих непрерывные частные производные до вто­

рого порядка включительно в области eD={-X<ix<X,

o^laT),

где Z

и Т - произвольные положительные числа, т . е .

и&€2аЬ).

Покажем,

что задача поставлена в этом случае корректно. Действительно, не­ трудно убедиться непосредственной проверкой, что решение уравне­

ния ( I ) , при условиях (3)., в

случае безграничной

струны имеет

вид:

ip(x-cl)

+ cp(-x+ci)

i

Г ,

,.,

(9)

«ftr,«= г

 

+ _

ffmidl.

x-el

35

При этом принадлежность

<ре С2 1-{'Л+сТ), (Х+сТ)]

,

фе Ci[-lj£->-cT),

(Х+сТ}]

гарантирует существование непрерывных

частных производных до второго порядка включительно в области

Единственность решения задачи ( I ) , (3) в классе С2(Ъ)

обычно

доказывается в курсах математической физики. Покажем теперь, что

решение задачи устойчиво к малым изменениям функций

(fix)

и ф(х)

в соответствующих функциональных

пространствах С г и

С.

Введем

для этого нормы соответствующих пространств:

 

 

Icpll "max

^[\(f{x)\

+ \(p'm\ + \ц>"1Х)\] ,

 

 

Проводя оценки для уравнения ( 9 ) , находим

Ы(-х, III « max Шх)\ + Т max / ф(х) \ « ШЦ+ Т 1ф1.

Дифференцируя равенство (9) и делая аналогичные оценки, получаем

1и{(х.1)\ < с-ЩЧ + «ф№ •

\u^x.i)\ « 1Кр!1 + -£-1фП;

lvH(x,l)l

<сг1срЦ + сйф$.

Складывая все полученные неравенства, получаем, что

HuH^(3+2c+cz)

llcpil +(Т+2+с + -*-Иф11.

(Ю)

Возьмем теперь произвольное е>о . Тогда, если

то

 

 

 

 

и, следовательно, .чалым по норме функциям

(f и ф

соответствуют

малые решения

и[х,1)

задачи ( I ) , ( 3 ) .

Так как

задача линейна,

36

Смотрите также файлы