Файл: Кантор И.Л. Гиперкомплексные числа.pdf

ии = | и р,

вытекающее

из

того факта, что квадрат модуля

октавы

ы совпадает

с

квадратом модуля сопряженной

октавы

к (и то и другое равно (11)).

ляется то важнейшее

свойство, что модуль

произведе­

ния

любых двух октав равен произведению

модулей

этих

октав:

| и | М

|«иг| =

(13)

или,

что эквивалентно,

\uv?

=

\uf\vf.

(14)

ности

|ыг; | 2

и | ы | 2 | г / | 2 . Так "как

uv =

far, +

q2e)

(г, +

r2e)

=

(?,r, —~r2q2)

+

(r 2 ?,

+

q.,r,) е,

то, применив формулу (10),

получим

| uv

|2

=

for,

- r2q2)

fa,r,

— r2q2)+{r2q{

+

q2Ty)

[r2q{

+

f 2 r , )

или,

учитывая

свойства

сопряжения

д л я кватернионов,

| uv

| 2

=

(<7,r, — r2q2)

(/-,</, — q2r2)+{r2qi

+

q2ri)

[q\r2+r^q2).

С другой стороны,

I " I21 v |2 = [q{q{

+ q2q2) (rtr,

+

r 2 r 2 ) .

Сравнивая

оба

выражения,

находим,

что

они

отли­

чаются

на сумму четырех

слагаемых

S

=

r2qirlq2.-{-

q2rxqs2

— Ц\Гхел-.г—

T2q2r^qv

Поэтому остается показать, что S = 0

для

любых

че­

тырех

кватернионов

qt,

q2,

r u

r2.

Начнем

с очевидного

замечания: 5 =

0, е с л и г 2

— дей­

мнимый

кватернион

(и, следовательно,

г2 =

— г2),

то

S

=

r2 (<7,r,?2 +

q2rrf{)

— (q{rxq2

+

q2rtf{)

r2.

В ы р а ж е н и е

в скобках

представляет

собой

сумму

двух сопряженных

кватернионов

и

поэтому

р а в н о

S = r2c—

сг 2 = 0 .

Теперь

следует учесть

очевидное

свойство

в ы р а ж е н и я

5: если

оно равно 0 при

г2 =

а и г2

= Ь, то

оно равно 0

мого кватерниона, причем в

обоих случаях S — 0, то

тем самым 5 равно нулю тождественно.

6°. Тождество для

восьми

квадратов.

Установленное

в предыдущем пункте

равенство

| ttw

Iя — I u

| 2 | v

(15)

налево)

тождество: «произведение

суммы

восьми

квад­

ратов

на сумму

восьми

квадратов

есть

снова

сумма

восьми

квадратов».

Действительно,

пусть

u =

a +

bi +

cj + dk + AE +

BI

+

CJ +

DK,

• v =

a ' +

b'l+

c'j

+ d'k + А'Е

+

B'l

+ С

J +

D'K,

a

wo = Ф 0 + Ф,£ - f Ф 2 / + Ф 3 £ + Ф 4 £ + Ф 5 / + ф 6 / + ф7К,

тогда равенство

(15) принимает

вид

( а 2 + . . . + £ 2 ) ( а ' 2

+ . . . + 0 ' 2 ) = Ф^ + Ф , + . . . + Ф ? .

Разумеется,

вместо

Фо,

Ф ь

Ф7 сюда

следует

под­

ставить

их

выражения через а,

...,

D, а',

...,

D',

исхо­

кую работу,

придем

к такому

тождеству:

( а 2 + й2 + с 2 + d 2 + Л 2 +• В- + С - + D-) X

X

(а' 2 +

б'2

+

с'г

+

d'2

+

Л ' 2 +

В'2

+

С ' 2 +

D'2) =

=

( а а ' -

W

— ее'

— dd'

— AA'

— В В'

— СС

-

DD')2

+

+

(аЬ''+

Ьа'

+

cd'

-

dc'

—

А'В

+

В'А

+

CD

-D'Cf

+

+

( а с ' +

со! — bd'

+

db'

-

А'С

+

С А -

B'D

+

D'Bf

+

+

(ad'

+

da'

+ bc' — cb' — A'D

+

D'A

+

BrC

-

CB)2

+

+

(A'a

-

B'b

— С с -

D'd

+

Аа'

+

Bb'

+

Cc'

+

Dd'f

+

+

(Л 'b +

B'a

-f- C d

-

D'c

-

Л 6 ' +

В a'

-

C d '

- f Z)c')2

+

+

(А'с

+

C'a

-

B'd

-\-D'b-Ac'

+

Сa'

+

Bd'

-

Db')2

+

+

{A'd

+

D'a

+

5'c

— Cb

— / W ' +

Da'

— Be'

+

C6')2 .

сел.

Сейчас

мы

обратим

внимание на одно существен­

ное различие между этими системами: в то время

как

умножение комплексных чисел и кватернионов

обладает

ассоциативным

(сочетательным)

свойством,

для

умно­

жения

октав

ассоциативный

закон

не

выполняется.

На ­

пример,

(ij)E^i(jE),

так

как

{if) E =

kE

=

К,

a

i{jE)

=

U =

— К.

Отсутствие

ассоциативного

закона

д л я

октав

вовсе

не

означает,

что д л я

любых

трех

октав и,

v,

w

будет

{uv) w ф u{vw).

Б о л е е

того,

можно

доказать,

что

спра­

ведливы

следующие

две

формулы:

{uv)v

=

u{vv)

(16)

и

v{vu)

=

{vv)u,

(17)

в которых и и v обозначают любые две октавы.

Формулы

(16)

и

(17)

можно

рассматривать

как не­

кий ослабленный вариант ассоциативности.

Существует

специальное

название

д л я

систем,

в

которых

справед­

ливы

эти формулы;

такие „системы

называются

альтер­

нативными.

О б р а щ а я с ь

к

доказательству

формул

(16)

и

(17),

заметим,

что вместо

них можно

доказывать

{uv)

v

=

и {vv)

(16')

и

_

v{vu)

—

{vv)u,

{17')

так

как,

з а м е н я я

в

этих

равенствах v

на —v

- } - 2а

(где

а — действительная

часть

октавы

v),

легко

получим

(16)

П у сть

и = q{ - f Чгв, v =

rt-\-

г2е. И м е е м

(uv) v =

(fa, +

q2e) (r, +

r2e)) (r, — r2c)

==

=

( ( ^ i

— Г2<72) +

(ггЧГ| + W i ) e) (r, — r2 e)

=

=

(fai'i — r2<72) r,

+

r2 (r2q, + '

flr27,))

+

+

((— r 2 ) (flr,r,

— r2q2)

+

(r2flr,

+

flfgr,)

r, ) e

=

=

( | r , | 2

+ | r 2

R^r. +

d r ,

|2 + | r 2

p)?2 e =

= ( | / - I | 2

+ | r 2 | 2 ) ( < 7 l

+ flr2e) = | t ; | 2 « .

С другой

стороны,

I vv

I — I v I2 , поэтому

u (PZJ)

= |

г» | 2 « .

Отсюда следует (16').

8°. Октавы — система

с делением. Ещ е одно

важное

ными числами и кватернионами, есть возможность

деле--

ния.

Пусть и и v — произвольные октавы,

причем

v Ф 0.

Напомним, что левое

частное

от деления

и на v есть ре­

шение

уравнения

г>* =

и,

(18)

а правое частное — решение

уравнения

xv =

и.

(19)

Решим сначала уравнение (18). Поступая точно так

же, как в_случае кватернионов, умножим

обе части (18)

слева

на v. Получим

v (vx) -— vu

или,

учитывая

(17'),

Отсюда

[ v |2 х = vu.

Непосредственная проверка

(с использованием

опять-

таки

формулы

(17'))

доказывает, что найденное

значе­

ние

х удовлетворяет

уравнению (18). Итак, левое

част­

ное от деления

и на v. равно

_

1 -

при этом

нужно воспользоваться формулой (16х ).

Мы видим, таким образом, что октавы образуют си*

стему с

делением.

U p =

Pop. О +

Рсф, 1*1 +

•••

+ P a p , A

( О

(таблица

умножения

«мнимых

единиц»

i u

i2,

in),

после чего произведение двух гиперкомплексных

чисел

определяется

по

правилу умножения

суммы

на

сумму,

с последующей

записью

слагаемых

(aaia) (6pip)

в

виде

a a 6p(t a ip )

и

заменой

произведений i a i p

по

форму­

л а м (1).

Рассмотрим такой случай, когда все числа

р^р, о

(«свободные

члены»

в

формулах

(1))

равны

нулю.

Тогда произведение любых двух мнимых единиц

ia, i s

есть снова комбинация мнимых единиц.

Обозначим через М- множество всех гиперкомплекс­

ных чисел

вида

a = a l i, + a 2 * 2 + • • • + anin

( 2 ) .

ма двух таких чисел есть

снова

число

вида

(2). И з

того,

что

сказано выше

относительно

произведений

i a i p ,

следует, что и умножение двух

чисел

вида

(2) дает

снова число вида (2). Таким образом,

множество

обладает

тем свойством, что обе операции — сложение

и умножение — не выводят

за пределы этого множества.

Наличие

такого свойства

позволяет рассматривать зФ