Файл: Кантор И.Л. Гиперкомплексные числа.pdf

Если в

алгебре

зФ существует

такой элемент

е, что

ае = а

и еа =

а

д л я

любого

а <=

то этот элемент называется

едини­

цей

алгебры

si>; в

этом случае

т а к ж е говорят,

что

есть алгебра

с

единицей.

Л ю б а я

гиперкомплексная

си­

стема

является,

как уж е

отмечалось, алгеброй

с

еди­

ницей.

Простейшим примером алгебры с единицей .является

одномерная

алгебра

с таблицей

умножения

Закон

умножения в этой алгебре

имеет вид

(aii[)(bli1)

=

aibiiu

т.

е.

сводится

к

умножению

действительных

чисел.

вать

алгеброй

действительных

чисел.

5°.

Примеры. Рассмотрим некоторые примеры алгебр,

не являющихся гиперкомплексными системами.

П р и м е р

1. Нулевая алгебра

произвольной

размер­

дельно

простой вид:

М р =

^

( Д л я в с е х

номеров а,

р от

1 до п).

Отсюда

сразу

следует,

что

произведение

любых

двух

. элементов

т а к ж е

равно

нулю.

П р и м е р

2.

Рассмотрим

двумерную

алгебру с

таб­

лицей

умножения

M i = :

'i>

• М2 = =

,

'2г1 =

~'2>

*2*2 =

<!•

Тогда закон умножения будет •

(cji, +

a2i2) (&,£, + b2i2) = < a 1 u I

+ a2b2)

h +

(a,&2 — a2b{)

i2.

верка того интересного факта^ что рассматриваемая

ал­

гебра есть алгебра с делением.

П р и м е р

3.

Алгебра

трехмерных

векторов

с

опе­

рацией

векторного

произведения.

Эта

алгебра

состоит

из элементов

вида

Ы + с/ +

dk,

перемножаемых

в соответствии с таблицей

i 2 = 0,

/ 2 = 0,

k2 = 0,

ij

— k,

ji

=

— k,

jk

=

i,

kj

=

— i,

ki

=

/,

ih=

— j .

Таким

образом,

(bi + cj

+

dk)

(b'i

+ c'j

+

d'k)

=

=

(cd' -

dc') i +

(db'

-

bd') j +

(be' - cb')

k.

(9)

будет

представлять

собой

(при

обычном

геометрическом

понимании

суммы векторов

и

произведения век­

тора

на

число)

некоторый

вектор

х

в пространстве.

Операция

(9)

носит

название

векторного

произведения

(ее

геометрический

смысл

см. в § 4);

она

играет важную

роль

в

геомет­

6°. Важный пример: алгеб­

Рис. 9,

ра квадратных матриц л-го

порядка. Размерность этой алгебры равна п2. Соот­

чить

г ь

i2,

...,

i n \

но более удобным является другой

принцип нумерации: вместо номера а,

пробегающего

значения от

1

до

/г2 , удобнее пользоваться

«номером»,

состоящим из

двух

чисел

а,

р\

к а ж д о е

из

которых про­

бегает

значения

от

1 до

л

(очевидно,

число

различных

пар

ос, р будет

в точности

/г2 ). Таким

образом, д л я мни­

мых

единиц

мы

вводим

обозначение

*a g. П о р я д о к

следо­

вания

мнимых

единиц

можно

установить

как

угодно;

' l l> 'l2 i • • • > ' l n j ' 2 l > *22>

' 2 n i ' 3 I >

l32>

• • •

• • • ,

' з л ;

• • • ! 'rtli 'л2> • • • i ' л л -

Итак, элементами нашей алгебры являются выра ­

жения следующего

вида:

А = anin-\-

al2ii2 + . . . + a 1 n t l n

+

+

«21*21

+

«22*22 +

• • • +

« 2 л ' 2 л

+

+

« л 1 ' л ! +

« л 2 ' л 2

+

• • •

+

« л л ' л л -

(Ю)

В такой записи

становится

особенно

ясным

тот факт,

ляется таблицей

аи

а12

. . .

а1п

«21

« 2 2

• • •

«2/1

« л !

« л 2 • • • « г

состоящей из

п2

чисел. Такие

таблицы носят

название

матриц,

точнее,

квадратных

матриц

порядка

п

(поряд­

ком называется'число

строк

или столбцов

в

квадратной

т а б л и ц е ) . В дальнейшем

вместо (10)

мы позволим себе

писать

кратко:

'ап

a l

• - . ащ

2

А =

«21

« 2 2

• • • « 2 л

. «Л1

« л 2

и

считать, что элементы

нашей

алгебры

суть

матрицы.

Определим

теперь

таблицу

умножения

единиц *.ян;

в

ней и заключено все своеобразие

алгебры

матриц.

П о л о ж и м

'al'lp =

'ap> 'a2*2p = ' a p >

• • • > 'ал'лр =

<ар '

0 0

или короче,

'а/Ар — 'ар

(а > Р.

любые номера

от

1 до п);

0,,*,,+

. . . + a l n

f I

r t + \

/

6 „ f , , + . . . + & ! „ * , „ + N

+ a 2 l i 2 l

+ . . . + a 2 n i 2 n + I f + b 2 l i 2 l + . . . +

+

„+ an\ini

+ • :

• + anilinn

/ \ + *щ*щ +

• • • +

В результате

должен

получиться некоторый элемент С:

С 1 1 * П +

^12*12 +

• • • + c l n i l n +

+ - Й 1 * 2 1

+

С2 2«22 +

• • • +

< W 2 r t

+

. ~Ь cn\inl

~Т~ Сп21П2

- (

- . . . - ) -

C n r t

Р а с с м о т р им произвольное слагаемое

с а р< а р

в составе С.

К а к показывает таблица умножения

(11), это слагае­

мое возникает только от умножения

a a l t a i на 6ip£,p,

a a 2 i a 2

на 62pi2p, - . . . , aa r t ia ,s 'Ha 6 r t p i n 3 ,

следовательно,

оно равняется

^

(aalbtf

+ aa2b2 [3 +

• • • + а а , А р ) 'ар-

Итак,

1

с а р =

а а 1 6 | | 3 - 1 - а а 2 & 2 р+

••• +

cwAtp-

Запомнить

эту формулу

совсем

нетрудно: нужно

взять а-ю строку

матрицы А:

b2fi

.

затем каоюдое

число

строки умнооюить

на

соответствую'

щее

число столбца

и все

такие

произведения

сложить;

в итоге

получится число

са$

из

матрицы

С.

П р а в и л о, которое мы сейчас установили,

позволяет

для любых двух матриц А и В построить

третью мат­

рицу

С;

естественно

называть

ее

произведением

матриц

А и

В.

Таким

образом,

чтобы

перемножить

элементы А

ветствующих

матриц А

и

В.

В качестве

примера

найдем

произведение

матриц

-А =

, 1

2 \

и

5

=

[ 3

4 1

Имеем

'

л р —

1.6

+ 2 -

(—3)

1 - ( -

\ 3

-6

+ 4- (—3)

3 - ( -

4 ) + 4 - 3 J

U

О}'

Возникающее таким путем умножение матриц

играет

в математике

чрезвычайно в а ж н у ю роль.

Р а м к и на­

риц: покажем,

что умножение

матриц

ассоциативно

или,

по-другому, — алгебра

матриц

является

ассоциативной

алгеброй.

Д л я

доказательства

достаточно проверить, что ра­

венство

(АВ)С

= А{ВС)

справедливо,

когда

в

качестве

А, В и С

берутся любые три «мнимые единицы»

алгебры

('(Л'ц-э) 'VY =

*аА. (1ц$Ку)-

Н о левая часть согласно (12)

равна (6^1^) t V Y или, снова

*) Содержание этого пункта

носит вспомогательный харак­

тер и понадобится нам только в §§

16 и 18.