Файл: Кантор И.Л. Гиперкомплексные числа.pdf

какой

мы

придаем

этому

слову

(о

тех случаях,

когда

систему

si

все ж е можно

рассматривать

как

гиперкомп­

лексную, мы с к а ж е м чуть

п о з ж е ) .

Главное

отличие

системы

si

от

гиперкомплексной

сводится

к

следующему.

К а ж д а я

гиперкомплексная

си­

стема

обязана содержать

некоторый

особенный

элемент

е такой,

что

е • а —а

• е =

а

д л я любого элемента а из данной системы

(этим

эле­

ментом

е является

1 + Oil - f - . . . - f - 0 i n ) ;

между

тем

в

си­

стеме

si

элемент с таким

свойством,

вообще

говоря,

не

существует. Имеется и еще одно

отличие, тесно

связан­

ное с первым: в гиперкомплексной системе "можно

гово­

элемент а

данной системы (по

определению,

это

есть

произведение

элементов

k = k +

Ot'i +

• • • +

0in

и

a);

в системе

si,

напротив,

произведение ka

не имеет

смыс­

этого достаточно ввести

операцию

умножения

действи­

тельного

числа на

элементы

из

si

по формуле

k {ali[

+

a2i2 +

. . . + aJn) = ka^

+

ka2i2 +

..'.'+

kanin.

Снабженное

такой

операцией,

множество

si

(с

уже

имеющимися

в нем сложением

и умножением)

превра­

щается в объект, носящий специальное

название

алгеб­

ра размерности

п или просто

алгебра*).

2°. Определение

алгебры. Д а д и м теперь

точное

опре­

деление

алгебры.

Алгеброй

размерности

п

называется

множество

вы­

ражений

вида

ai*i + a2*Y+

••• +'anin

(2.)

(где

аи

а2, . . . , ап

— произвольные

действительные

чис­

ла,

a

i2,

i„ — некоторые

символы),

снабженное

следующими

операциями: .

*) Таким образом, слово «алгебра» имеет два смысла: алгебра

как раздел математики и алгебра как математический объект

с оп­

ределенными свойствами.

/

k (a,i,

+ a2i2

+

... +

aJn)

=

kaxi{

+

ka2i2

+ ,..

+ kanin;

(3)

2)

операцией

сложения:

(a,i, +

a2i2 + . . .

H - a«i„) +

( M i +

62 i2 +

• • •

+

W

=

= (a,

+

&,) i, +

(a2

+ b2)

i2

+

. . .

- f

(a„ +

6„) i„;

(4)

3)

операцией

умножения,

з а д а в а е м о й

таблицей

вида

*a*"p =

Pap, 1*L +

Pap.

2*2 +

•••

+

Pap.

гс'л>

(5)

где a,

р — любые номера

от

1 до п

(таблица

используется

для нахождения

произведений

(«1*1 +

«2*2 +

• •

+

anin)

+ b2i2

+ . . .

+ bnin)

в точности

так

же,

как

в

случае

гиперкомплексной

си­

стемы) .

«таблицей умножения»

(5), т. е. некоторым набором

иъ

чисел Pap.v В принципе

эти числа не подчинены

ника­

ким условиям; любой набор их задает некоторую

ал­

гебру.

3°. Гиперкомплексная

система — частный

случай

влекли»

понятие

алгебры из

понятия

гиперкомплексной

системы,

следует

отчетливо

уяснить,

что

понятие

ал­

г е б р ы — более

широкое;

иначе

говоря,

что

любая

ги­

перкомплексная

система

может рассматриваться

как

ал­

гебра той

же

размерности.

Разъясним

это

подробнее.

Пусть

дана_

алгебра

состоящая

из

элементов

«i*i + «2*2 +

• •

+

anin

с таблицей

умножения

*'a*p =

Pap.l'l +

Рар,2*2 +

•••

+

Pap,

Jn

(а, р — любые

номера

от

1 до п),

причем

единица

ix

обладает особым

свойством:

M a =

*а

и

*а*1

== *а

Д л я

в с е Х

а

ОТ

1

ДО П.

(6)

Мр

— Pap, I +

Рар. 24 +

• • •

~Г"Рар,н'/г

(а,

р — любые

номера

от 2 до л ) ;

эту

гиперкомплексную

систему

будем

рассматривать

как

соответствующую

алгебре s&.

Пользуясь таблицей умножения, можно найти про­

изведение

любых двух элементов

данной

алгебры:

(a1il

+ а42

+ . . . + anin) (bxi{ + b2i2

+ . . . + bjn)

=

= c,£, + c2i2

+ . . . + cnin.

Если теперь в написанном равенстве «убрать»

i u

то по­

лучится

соотношение

(a, - f a2i2

+

• • • - f anin)

(6, + b2i2

+ . . .

+

bnin)

=

=

c, +

c2i2

+

•••

+ cnin,

которое ввиду

(6) будет

в ы р а ж а т ь

закон

умножения в

соответствующей гиперкомплексной

системе.

Таким

образом, л ю б а я алгебра

с условием (6) «вы­

черкиванием»

символа

«1 из записи

всех

элементов пре­

вращается

в гиперкомплексную

систему

той ж е

размер ­

ности.

Рар,у

1, Р > 1

Более

того, поскольку

числа

Для а >

путем может быть получена любая

гиперкомплексиая

система.

Д л я

иллюстрации

рассмотрим

пример. Пусть за­

дана

двумерная

алгебра

si- с такой

таблицей

умноже ­

ния:

Равенства (6) здесь,

очевидно, выполняются. Закон ум­

ножения

в s& выглядит

следующим

образом:

(а^! + a2i2) (bii\ + b2i2) =

(albl — a2b2)

i, -f- {axb2 + a2b{) i2.

Если

«вычеркнуть»

i i , то

таблица

умножения

превра^

тится

в

hh

== — 1.

а закон

умножения

примет вид

,

(й, +

a2i2) [by +

b2i2)

=

{afii — a2b2)

- f (afa + а2 й,) i2,

плексных чисел.

4°. Коммутативные,

ассоциативные алгебры,

алгебры

с делением..В § 5 мы

ввели ряд терминов д л я

обозначе­

гебры.

А

именно,

если

д л я

любых

двух элементов

а

и Ъ алгебры

бФ справедливо

равенство

ab

=

Ьа,

то алгебра

называется

коммутативной;

если

д л я

любых

трех' элементов а,

Ь

и

с

справедливо

равенство

{ab)

с =

а

(be),

то

алгебра

называется

ассоциативной*).

Д а л е е ,

если

к а ж д о е

из

уравнений

и

ах =

Ь

(7)

уа =

Ь,

(8)

где

а

и Ь — произвольные

элементы

алгебры

причем

а ф

О, имеет

единственное

решение,

то

говорят,

что

есть

алгебра

с

делением;

элемент

х,

определяемый

из

уравнения

(7),

называется

в

этом

случае

левым

част­

ным,

а

элемент

у,

определяемый

из

(8), — правым

част­

ным

от деления

Ь

на

а.

Нетрудно видеть, что в алгебрах с делением

спра­

ведливо

такое

свойство:

если

произведение

ab

равно

нулю,

то хотя бы

один

из

сомножителей

а

или

b

равен

нулю.

Действительно, если а Ф О,

то

6 =

0,

ибо единствен­

ным

решением

уравнения

ах — 0

является

х =

0.

Позднее мы д о к а ж е м

(см. §

9),

что

с п р а в е д л и в о , и

обратное

предложение:

из ра­

если

алгебра

s4-

обладает

тем

свойством,

что

венства

нулю

произведения

ab

следует

равенство

нулю

хотя

бы

одного

из

сомножителей

а

или

Ь, то

s4-

есть

алгебра

с

делением.

. .