Файл: Кантор И.Л. Гиперкомплексные числа.pdf

а умножение определяется по формуле

(«! +

и2е) (i>, +

v2e)

= {uxv{ — v2u2)

+ (г>2и, +

a2i>,) е (5)

'(черта обозначает сопряжение в Щ).

Читателю

может

показаться странным,

что, опреде­

л я я систему

°U^\

мы отступили, во-первых,

от

обычного

способа

записи

гиперкомплексных

чисел, и,

во-вторых,

должн ы были бы иметь вид

ao +

a i ' i + ••• + anln + a n +

l i n + l +

. . . +

a 2 n + l i 2 n + l ,

(6)

однако

мьг предпочитаем

более

короткую

запись

(3).

Дело

в

том, что каждому

выражению

(6)

можно

со­

Щ =

а 0 +

«1*1 +

... +

anin,

и2

=

а п + 1

+ an+2ix

+ . . .

+ #2n+iirt>

а значит, и

выражение (3)

(оно

является как бы «ко­

лее

интересующего нас случая октав приведем ее даль ­

ше

полностью.

нионам: то, что было сделано в начале этого

параграфа,

фактически означает, что система кватернионов

есть

удвоение системы комплексных чисел. Легко

т а к ж е

про­

тельно), что

комплексные числа

получаются

удвоением

действительных.

Главной целью

этого п а р а г р а ф а , как уж е

говорилось,

является построение системы октав. Определение

октав

может быть

сформулировано' теперь в нескольких

сло­

вах: система

октав

есть удвоение

системы

кватернионов:

Все, свойства

системы октав получаются, естественно, из

данного определения; начиная

со следующего

пункта,

мы пер.еходим к подробному изучению этих

свойств.

3°. Таблица умножения в системе октав. Итак, со­

гласно

определению,

октавы — это в ы р а ж е н и я

вида

Я\ + да,

где <7ь q2—

произвольные

кватернионы,

причем

закон

умножения

имеет следующий вид:

( ? 1 +

да)(г,

+ г2 е) =

( ? 1 г 1 — r2q2)

+ {r2q{

+

q2rx)e.

(7)

П р е ж д е

всего

посмотрим,

как

увязывается

такое

определение

октав

с

представлением

октав

в

форме

а0

+

+ a2 t2

+

а3*з +

« А +

<*sh + а б'е +

a7i7,

(8)

точнее,

составим

таблицу

умножения

дл я мнимых

еди­

ниц ц,

...,

i7.

q\

q2,

Кватернионы

и

отвечающие

записи

(8),

суть

Я\ = а0 + a}i + a2j + a3k,

q2 = a 4 + abi + a6j + a7k.

Договоримся

дл я

большего

единообразия

вместо

(8)

писать

a +

bi + cj +

dk+AE

+

BI+CI

+ DK,

где а~Ь,

с,

d,

А,

В,

С,

D — это прежние аа,

аи

а7,

a i,

j , k,

Е,

I-, J,

К — новые обозначения д л я «мнимых

единиц»

»[, и,

. . . ,

i7.

q{

и q2

В

таких

обозначениях

кватернионы

будут

•qx = a + bi+_ci

+ dk,

? 2

=

Л + Bi +

С / + DA.

Исходя

из

(7), можно,

как уж е

отмечалось,

соста­

вить

таблицу

у м н о ж е н и я дл я

единиц

i, /, k, Е, I , / , К.

Например,

полагая в формуле (7) q2

= г2

— 0,

получим

(«/, + О е ) ( г Г + 0 е ) =

<7,г1

+ 0е;

'таким

образом, октавы qi

и гх

перемножаются

как

ква­

тернионы. Отсюда

следует, что дл я

единиц

i,

/,

k

таб­

лица

умножения

в точности

т а к а я

же,

как

в

случае

кватернионов:

*а

1, Р = т-1,

k°-=-l,

ij = k,

ji =

—

k,

j k ^ i ,

kj=

— i,

ki —

j ,

Ik =

— /.

Н а п и с а н н ые равенства дают в ы р а ж е н и я

только

для 9

произведений из общего числа 49 (в

нашем

случае

имеется 7 единиц и, следовательно, 7-7 =

49 попарных

зании

следующих семи

троек:

1

Е

I

i

] k

i

Е

J

k

Е

К

Запомнить

эти

тройки нетрудно: к а ж д а я тройка

в

пунк­

тирной р а

м к е

получается из тройки символов

i,

/, k,

волы; к а ж д а я

из троек в сплошной рамке

содержит Е

и

два одноименных символа.

а,

Чтобы

объяснить

таблицу умножения,

обозначим

р, y любую из указанных

семи троек (порядок симво­

лов в тройке существен). Тогда

aP =

Y,

р а =

— у,

PY =

a,

Y p =

— а ,

уа =

р,

ау =

— р,

и

а 2 = - 1 ,

р2 : = - 1 ,

У2

- 1 ,

Любопытно,.что единицы i, /, ft, Е, I, J, К

могут

быть расстав­

лены на этом

чертеже многими

способами.

Достаточно

взять

i,

/, ft лежащими на одной «прямой» (любой из семи),

какую-нибудь

из

оставшихся

точек обозначить Е и затем проставить

/, /,

К на

прямых iE, jE,

kE; в результате

мы придем

снова

к

правильной

картине.

будем называть

сопряженной

к и.

Если

вместо

(9)

воспользоваться

более

короткой

записью

где

q l = = a

+ bi + cj + dk, q2

= А + Bi + Cj +

Dk,

то дл я сопряженной

октавы

получится

в ы р а ж е н и е

ии = fa, +

q2e) fa, — q2e) = [q{qx

+

q2q2) + (—q2qi+q2qi)

e.

Учитывая,

что дл я кватернионов

qq =

qq =

\ q [2, нахо­

дим отсюда

ии =

ql

+ q2q2 =

\qx

|2 + | q2 f.

(10)

К в а д р а т н ы й корень из в ы р а ж е н и я

|<7iI2 +

I f o l 2

на-

зывается модулем

или нормой

октавы

и и

обозначается

| и | . Заметим, что дл я октавы

и,

заданной

в форме (9),

к в а д р а т ее модуля

равен

a2 + i 2 + c 2 + d 2 + Л 2 + В 2 + С 2 + £>2.

( П )

Таким

образом,

по определению модуля

имеем

ай = |и| 2 ;,

(12)