ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 25.07.2024
Просмотров: 118
Скачиваний: 1
у м н о ж е н и я:
1) (а + 6) с = ас + be, а (b + с) = лЬ + ас, 2) ka-b — k (ab), а • kb = k (ab).
Эти свойства' являются в некотором |
смысле |
|
определяю |
||||||||||||||||
щими |
дл я |
операции |
|
умножения. |
|
Точнее, |
имеет |
место |
|||||||||||
следующее |
предложение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Пусть |
в множестве |
$Ф всех |
выражений |
вида |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
а,*, + a2i2 |
+ |
• • • + |
|
anin |
|
|
|
|
|||||
введены: |
операция (3) умноокения |
|
на числа, |
|
операция |
||||||||||||||
(4) |
сложения, |
а |
также |
некоторая |
|
операция*) |
|
а°Ь, |
|||||||||||
обладающая |
|
указанными |
выше |
свойствами |
1) и 2): |
||||||||||||||
(а + 6) о с = а о с + Ь о с, |
|
а° (Ь + с) = а ° й + о. ° с, |
|||||||||||||||||
|
|
ka ° b — k (а ° Ь), |
|
|
|
|
а о kb = k (а о Ь). |
|
|||||||||||
Тогда |
множество |
si- |
есть |
алгебра, |
|
в |
которой |
роль |
опе |
||||||||||
рации |
умноокения |
играет а о Ь. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Чтобы |
доказать |
это предложение, мы должны |
про |
|||||||||||||||
верить, что операция |
а ° 6 есть умножение в том смысле, |
||||||||||||||||||
как об этом |
говорится в определении |
алгебры. |
|
|
|||||||||||||||
|
Рассмотрим выражение |
* а ° * р . Это — некоторый эле |
|||||||||||||||||
мент |
множества |
бФ, т. е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
*а°*р = |
Рар,1*1 + Pap,2*2 + |
|
•• • |
+ Pap, Jn- |
|
(13) |
|||||||||||
Из |
свойств |
1) и 2) следует, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
&оЬ = |
(а1Г1-+ . . . |
+ a n * e ) ° ( M i + |
|
••• |
+ * Л ) |
= |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
— S |
[(OoU ° ( V e ) l — 2 |
а |
в М » а ° 'в) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
a, р |
|
|
|
|
н н |
а, р |
1 |
' |
р |
||
(в |
равенстве, |
помеченном |
!, |
мы |
воспользовались |
свой |
|||||||||||||
ством |
1), в |
равенстве |
!! использовали 2)) ; после |
этого |
|||||||||||||||
дл я |
вычисления |
а ° 6 остается |
только |
вместо |
i a ° h П ° Д" |
||||||||||||||
ставить соответствующий |
элемент |
(13), умножить |
число |
||||||||||||||||
aa up |
н а . э т о т |
элемент, |
затем |
привести подобные |
члены. |
||||||||||||||
Н о |
это — в |
точности |
та самая |
процедура, |
с |
|
помощью |
||||||||||||
которой. определяется |
умножение |
элементов |
|
в |
произ |
||||||||||||||
вольной |
алгебре s4-. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
*) В этом месте.слова «задана некоторая операция» означают только тот факт, что каждым двум элементам а и Ь ставится в со ответствие третий элемент, обозначаемый а° Ь.
Глава 2
л - М Е Р Н ЫЕ ВЕКТОРЫ
О б р а т и м ся еще раз к определению алгебры раз мерности п. В этом определении наиболее сложным мо ментом является, бесспорно, наличие операции умно
жения . |
Останется |
ли хоть что-нибудь, если отвлечься |
от этого |
свойства? |
Легко видеть, что останется, хотя и |
не очень много: останется совокупность элементов, од нозначно представимых в виде
а,!, + a2i2 + . . . + anin,
с естественным правилом сложения элементов друг с другом
{alil + a2i2 + |
••• + anin) |
+ {b{ix + |
b2i2 |
+ |
. . . +bjn) |
= |
|
|
= (a1 + bl)il + (a2 + b2)i2 |
+ . . . + (an |
+ bn)in |
||||
и со столь |
ж е |
естественным правилом |
умножения эле |
||||
мента на действительное |
число: |
|
|
|
|
||
k (а,», + a2i2 |
+ |
. . . + ajn) |
= kaxix |
+ |
ka2i2 |
+ . . . + |
kanin. |
Можно ли, базируясь только на этом материале, развить сколько-нибудь содержательную теорию? Ока зывается, что можно. Больше того, существует целый раздел математики, в основе которого л е ж а т только указанные выше операции. Этот раздел называется ли нейной алгеброй; он весьма богат содержанием и ис пользуется часто как в . самой математике, та к и в ее многочисленныхч приложениях. В этой главе мы озна комим читателя с некоторыми сведениями из линейной алгебры. Они составят ту основу, на которой будет про должено изучение теории алгебр в гл. 3.
98
§ 8. n-мерное векторное |
пространство А п |
|
||
1°. |
Основные определения. |
О п р е д е л е н и е |
1. На |
|
зовем |
n-мерным.вектором |
объект вида |
|
|
|
a1i1 + a2i2+ |
+ anin, |
(1) |
|
где ау, |
а2, . . . , ап—произвольные |
действительные |
числа, а |
|
|
t\, |
i2, • • •, |
i n |
|
— просто п различных символов, которым не приписы вается никакого специального смысла.
Поясним, |
почему |
выражение |
(1) названо «векто |
||
ром». Д е л о в |
том, что |
при |
п = |
2 получается выражение |
|
вида |
|
|
|
|
|
|
|
alh |
+ «2*2> |
(2) |
|
и если истолковывать |
i\, i2 |
как |
два |
фиксированных век |
|
тора на обычной плоскости, то написанному выше вы ражению тоже будет соответство вать некоторый вектор на плоско
сти*) |
(рис. |
10); больше |
того, |
если |
|||||
векторы |
«1, «2 |
не |
л е ж а т |
на |
одной |
||||
прямой, |
то |
в |
таком |
виде |
может |
||||
быть |
записан — и притом |
однознач |
|||||||
н о — любой |
вектор |
на |
плоскости. |
||||||
О п р е д е л е н и е |
2. |
Д в а |
/г-мер |
||||||
ных |
вектора |
|
|
|
|
|
|
||
и |
я,£, + a2i2 |
+ |
. . . - f |
ajn |
|
|
|||
bxil + b2i2+ |
... |
|
+bnin |
|
|
||||
|
|
|
|
||||||
считаются |
|
равными |
тогда |
и |
только тогда, когда |
||||
|
|
|
al |
— bl, a2 |
= b2, |
|
an = bn. |
||
Мотивом к такому определению служит уже упо мянутый выше факт, а именно: однозначность представ ления любого вектора на плоскости в форме (2), если «базисные» векторы i\, i2 выбраны не лежащими на од ной прямой.
*) Мы исходим из обычного геометрического понимания сум мы векторов и произведения вектора на число. Напомним, что сум ма векторов определяется по «правилу параллелограмма», а умно
жение вектора на число |
k — это растяжение его в \k\ раз |
с по |
следующим изменением |
направления на противоположное, |
если |
k < 0. |
|
|
О п р е д е л е н и е |
3. |
|
Сложение |
n-мерных |
векторов |
||||||
производится |
по правилу |
|
|
|
|
|
|
||||
(а& +• |
. . . |
+ aaln) + (ft,*, |
+ |
. . . + bnin) |
= |
|
|
|
|||
|
|
|
|
= |
|
(a, + 6 , ) ' i + |
••• + |
k |
+ |
U v |
|
а умножение n-мерного вектора на действительное |
чис |
||||||||||
ло — по правилу |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
k ( a , * , + |
a 2 |
i 2 + |
• • • + |
aJn) |
= ? / г а 1* 1 + |
б & г ' з + |
• • • |
+ |
|
||
И это |
определение, |
разумеется, |
|
навеяно |
аналогией |
||||||
с геометрическими векторами. |
|
|
|
|
|
||||||
Д л я |
сокращенного |
обозначения |
|
n-мерных |
векторов |
||||||
мы будем пользоваться полужирными латинскими бук
вами: |
а, Ь, с и т. д. Равенство |
векторов |
а |
и Ь |
записы |
|||||||
вается |
обычным |
образом: |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
а = |
6. |
|
|
|
|
|
|
Легко видеть, что определенное выше сложение |
век |
|||||||||||
торов |
обладает |
свойствами |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
а + Ь — Ь + |
с |
|
|
(коммутативность), |
||||||
(а + |
6) + с = |
а + |
(Ь + |
с) |
|
(ассоциативность), |
|
|||||
а для |
умножения |
вектора |
на |
число справедливы |
сле |
|||||||
дующие соотношения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
k(la) |
= |
{kt)a, |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
(k |
I) a = |
ka + /a. |
|
|
|
|
||
Совокупность всех n-мерных векторов будем |
назы |
|||||||||||
вать |
n-мерным |
векторным |
|
пространством |
и |
обозна |
||||||
чать А„. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вектор |
вида |
0/, + |
0i2 + |
. . . |
+0in |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
называется нулевым |
вектором |
и обозначается |
0. |
Оче |
||||||||
видно, |
|
|
|
|
а + 0 = |
а |
|
|
|
|
||
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
0а = 0 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
.для любого вектора а. В дальнейшем |
нулевой |
вектор |
||||||||||
мы будем называть просто нулем. |
|
|
|
|
||||||||
2°. Понятие линейной зависимости. Обычно при изу |
||||||||||||
чении |
какого-либо |
вопроса |
приходится |
иметь |
дело не |
|||||||
60