Файл: Кантор И.Л. Гиперкомплексные числа.pdf

С] = — j + 3 i 2 + 5 i 3 -f- Зг4>

a2

= —

*i + i2 + 4 t 3

+ 3 i 4 ,

(3)

a3

=

ij + 0<2 + 3 t 3

— 2*4

A,,

k2,

. . •,

km

и

составим вектор

a =

klal

+

^ 2

« 2 +

• • •

+

k^a-m-

Любой вектор а такого вида называется, линейной

ком­

бинацией

данных

векторов

аи

а2,

ат, а

числа

ku

k2,

km

— коэффициентами

этой

линейной комби­

нации.

П р и м е р .

Найти линейную

комбинацию

с, — З а 2 +

2 а 3

векторов

аи

а2,

аъ

из

приведенной

выше

системы

(3).

Складывая векторы

Щ = — 5*i

+

Зг2 +

&»з +

Зг4 ,

— З а 2 =

3ij—3i2—12г3

— 9i 4 ,

2 а 3 =

2i, +

0i2 +

6 i 3

— 4£4 )

получаем

,

a, — 3a2 +

2a3

=

0^

- f 0l2

— h"3

—

10i4 ,

Если

вектор

а я в л я е т с я

линейной

комбинацией

век­

торов аи

а2, . . . ,

От, то

говорят,

что

ш

линейно

выраэшется^через

а ь

а2,

ат»,

«в

разлагается

по

а1г

а2,

ат».

•

Введем еще одно важное определение.

О п р е д е л е н и е

4.

Система

векторов

аи

а2,

ар

(4)

называется линейно

зависимой,

если некоторая

линей­

Si^i + s 2 a 2 +

. . . - f s p a p = 0,

(5)

причем хотя бы один из

коэффициентов slt. s2,

sp

ществует

линейной

комбинации

такого

рода)

система

(4)

называется

линейно

независимой.

Из определения непосредственно вытекает, что си­

стема, состоящая из одного вектора, линейно

зависима

только в том случае, когда этот

вектор — нулевой

(дей­

ствительно,

из

s ^ i

=

0

и

S\

0

следует

а\

=

0 ) .

В случае системы из двух векторов линейная

зави­

симость

означает,

что

найдутся

числа

sx

и

s2, из кото­

рых

хотя

бы

одно

отлично от нуля,

такие,

что

Sja,

+ s2a2 = 0.

Пусть,

например,

S\ ф 0.

Тогда

из

написанного

равен­

ства

следует

=

ka2

где

k =

— — ) .

Д в а

вектора,

связанные такой зави-

симостью, называются

пропорциональными.

Пусть

теперь

дана

линейно

зависимая

система из

любого числа р векторов. Предположим, д л я

определен­

ности,

что

в

равенстве

(5) отличен от нуля коэффи­

циент

Si. Тогда

из этого

равенства

следует

с, =

k2a2 +

k3a3

+ . . .

+

kp(ip,

'т. е. вектор ах

линейно

в ы р а ж а е т с я

через

остальные

векторы

системы.

Это рассуждение показывает, что линейно

зависимая

система

либо

состоит

из

одного

вектора

{и~ тогда

это 0 ) ,

либо

один

из

векторов

системы

линейно

выражается,

через

остальные

векторы.

3°.

Другое

определение линейной зависимости. В д а л ь ­

лировкой

понятия

линейной зависимости:

система (4)

линейно

зависима,

если какой-либо

из

ее

векторов

можно

выразить

линейно через

предшествующие

ему

векторы

системы

или же если

ах

=

0.

П о к а ж е м , что эта формулировка эквивалентна ис­

ходной.

В самом деле, если at = 0, то система линейно за­

висима,

ибо

в

этом

случае

линейная

комбинация

1 ах +

0а2 +

• • • + 0 я р

равна

нулю,

причем

первый

ко­

стемы

линейно в ы р а ж а е т с я через

предшествующие,

al = klal+

. . . + Аг-.й;-!,

то в этом случае система

т а к ж е линейно

зависима:

ли­

нейная

КОМбИНаЦИЯ

^ 1 ^ 1 + . . . +

^ i - l O j - l

— l«i +

+ 0 a , + i +

. . .

+ 0 а р

равна

нулю,

причем

коэффициент

при йг отличен от нуля.

Обратно,

пусть система

линейно

зависима, т. е. имеет

место

(5),

причем

хотя

бы

один

из

коэффициентов

s b

S2,

. . : ,

sp

не равен

нулю.

Рассмотрим

последний

из

отличных

от • нуля

коэффициентов.

Если это

Si,

то

Sja,

=

0, следовательно,

=

0. Если

ж е

указанный

ко­

эффициент

есть su

i >

1, то,

прибавляя к обеим

частям

равенства вектор —SjOj и

у м н о ж а я

обе

части на ——,

получим равенство

вида

4°. Первоначальный

базис. Вектор

H | + 0 i 2 + . . .

+ 0 i „

естественно

обозначать

коротко • через i\. Таким

обра­

зом, символ

i\, которому ранее

не придавалось

ника­

Of, +

l i 2 +

. . .

+ ( М „

отождествляем с i 2 и т. д., наконец,

вектор

<М, +

(М2 +

. . .

+

Un

+ а2и + . . . + anin.

(6)

0^1 + 02*2+ . . . + - a, l t„ = a , ( U I + 0*2+

+

0 i „ ) +

+ a 2 ( 0 i , + "2 +

••• + 0 i „ ) +

. . . + a „ ( 0 i 1 +

0 i 2 + . . . + li„).

откуда видно,

что вектор а

есть линейная

комбинация

векторов i\, i2,

i n с коэффициентами

aj,

a2 , • •> «п.

вперед,

заметим,

что базисов

существует

бесконечное

множество,

и среди

них базис

ii}

i2,

...,

i n

ничем

осо­

бенным

не выделяется,

§ 9. Базис пространства А„

1* Определение базиса. Базис

пространства А л

— это

система

из конечного

числа

векторов

с,, а2,

. . . ,

ар,

(1)

о б л а д а ю щ а я

двумя свойствами:

1)

любой

вектор

a ' E A „ допускает

разложение по

ним:

а =

£ , я, + k2a2

+ . . .

+kpap;

(2)

2) это разложение единственно; иначе говоря, если

наряду

с (2)

имеет

место

еще

одно

разложение

век­

тора

а:

то

a =

+ 12а2+ . . .

+1рар,

k\=li,

ko =

l2,

kp =

lp.

Д о к а ж е м

одно

свойство

базиса: векторы,

составляю­

щие базис,

линейно

независимы.

s,a,

+

s2a2

+

. . .

+ spap

= 0,

(3)

причем среди чисел

su

s2,

...,

sp

хотя

бы

одно

отлично

от нуля.

С к л а д ы в а я

равенства

(2)

и

(3),

получим

а =

(£,

+ s^di

+

ikz-i-

s2)a2-)r

. . .

+ {kp

+

sp)ap,

т. е. другое

разложение

а

по

векторам

(1). Но

это про­

тиворечит определению

базиса.

2°. Способ получения других базисов. Примером ба->

зиса может

служить

система

i\,

i2,

...,

in,

условия 1) и

2)

д л я нее, очевидно,

выполняются.

Н о

это — отнюдь

не

единственный базис

пространства

Ап-

личное от

нуля.

Так,

у м н о ж а я

первый

из векторов

(1) на

произволь­

ное число k фО,

получим

новую систему

kau

а2,

ар,

( Г )

которая,

очевидно, тоже

является

базисом.

2. Прибавление к одному из базисных векторов дру­

гого базисного вектора.

Например, если к ах

прибавить а2,

то получим

новую

систему

01 + 0 2 .

« 2 ,

« р .

( ! " ) -

которая

т о ж е является

базисом.

Действительно,

пусть

с — произвольный

вектор. Тогда

имеет место

равенство

(2), из Которого следует, что

a==kl(al

+ a2)

+ (k2 — kl)a2-{-k3a3

+ . . . +

крар,

т. е. что

вектор а

разлагается,по

векторам (1")-

Д а л е е ,

текает

единственность р а з л о ж е н и я по (1")- Значит,

(1")

есть тоже

базис пространства А„."

3 И.

Л.

Кантор, А. С. Солодовников

65