Файл: Кантор И.Л. Гиперкомплексные числа.pdf

виде

процедуры,

позволяющей из какого-либо одного базиса

полу­

чать все остальные. В определенном

смысле

такой

ответ

содер­

жится

в

следующем

предложении,

в

котором

под «элементар­

ными

преобразованиями»

понимаются

определенные

выше дей­

ствия 1 и 2.

От

любого

базиса

к любому

другому

можно

перейти

с по­

мощью

конечного

числа элементарных

преобразований.

В частности, если за исходный базис принять базис, составлен­

ный

из первоначальных

базисных

векторов i\,

и

..

,

in,

и подвер­

гать

его всевозможным

элементарным

преобразованиям

(в

любом

количестве), то

получим

все без

исключения

базисы

простран­

ства А„.

Доказательство сформулированного

выше

предложения

мы не

приводим

(хотя

оно и несложно).

Впрочем, для нас представляет

интерес

не столько само это предложение,

сколько

одно

следствие

из него, а именно:

Любой

базис

пространства An состоит из п

векторов.

Действительно, в первоначальном

базисе

h,

h

in

число

векторов равно п; но тогда из сказанного

выше

следует, что н в

любом другом базисе число векторов также равно п.

Ниже будет дано независимое доказательство этого предло­

жения.

3°. Число

базисных

векторов.

Нашей

ближайшей

целью

является доказательство

следующей

теоремы.

Т е о р е м а

1. Любой

базис

пространства

А„

состоит

из п

векторов.

Поскольку

первоначальный

базис

i\,

i2,

i n

со­

казать,

что любые

два базиса

состоят из одного и

того

же числа

векторов.

Доказательству этого факта предпошлем одно заме ­

чание.

3 а м е ч а н и е. Пусть

система

векторов

а и

а2,

• •.,

ар

такова,

что любой

вектор

а

разлагается

по ней, — усло­

вимся

называть

такую систему

полной.

Присоединив к

полной

системе

в

качестве

первого

вектора

какой-либо

вектор

Ь Ф О, получим новую

систему

Ь, а и

а2, . . . , ар,

которая

будет линейно зависимой

(так

как в

силу

пол­

ноты

имеет

место

равенство

вида

Ъ — / г ^ — k2a2

—...

. . . — kpup — Q).

Согласно

3°

§

8

в

этой системе

най­

которая должна быть

полной.

Н о это

невозможно, так

как, например, вектор

b p + i по

этой системе не

разла ­

гается.

Итак, предположив, что q > р, мы пришли к проти­

воречию. Теорема доказана .

4°. Число векторов,

составляющих

линейно

незави­

В

качестве тривиального следствия

отсюда

получаем,

что

в пространстве А„ существуют

линейно

независи­

ственно поставить вопрос: можно ли

в

пространстве А п

построить линейно

независимую

систему

из

большего,

чем

п, числа векторов?

П о к а ж е м ,

что

этого

сделать

нельзя.

2. Пусть

в пространстве

дана

линейно

Т е о р е м а

А„

независимая

система векторов

й\,

й2,

. . . ]

йр .

Тогда

р ^.п.

Если

р =

п,

то данная

система есть базис

пространства

Ап.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Обозначим

д л я

краткости

странства А п ,

присоединяя

к системе

5

векторы

из

ка -

кого-либо~базиса

е, е2,

. . . ,

еп.

Рассмотрим вектор et . Если он разлагается по си­

стеме S, то оставим его беа внимания;

если

ж е

не

раз ­

лагается, то добавим его к системе S

(в

качестве

по­

следнего вектора) . В обоих случаях

полученную

си­

стему обозначим 5' (она либо совпадает с S,

либо

получается добавлением к ней вектора

е ^ .

Затем

переходим

к

вектору

е2.

Если

он

разлагается

по системе

S',

то

оставляем

его

без

внимания;

если

не

разлагается,

то добавляем

его

к

S'.

В

обоих

случаях

полученную

систему

обозначаем

5 "

(она

либо

совпадает

с S',

либо

получается

добавлением

к

ней

вектора

е2).

П р о д о л ж а е м

т а к

и

далее . Перебрав

таким

образом

все

векторы

еи

е2,

еп,

получим

систему

S<4

Она обла ­

дает

следующими

свойствами:

1.

Любой

вектор a s A „

разлагается

по

ней.

Д е й ­

ствительно,

вектор

а

разлагается

по

еЛ,

е2,

еп,

а

к а ж д ы й

из

этих

векторов,

в свою

очередь,

разлагается

по векторам системы S(n\

как следует

из

самого

спо­

соба построения этой системы.

2. Ни один из векторов

системы S ( n )

не

разлагается

по предыдущим (это опять-таки"следует

из

способа

по­

строения S(")). Это означает, что система

линейно

независима.

вектора а

3. Р а з л о ж е н и е любого

по

системе

S( i t )

различных

разложения

для а, то, вычитая из одного

другое, мы

получили бы линейную зависимость между

векторами системы S<n>.

Свойства

1 и 3 позволяют сделать заключение, что

система S(n >

есть базис

пространства Ап. По теореме 1

стема

S(">

содержит исходные векторы аи

а2, ...,

ар,

то р ^

я; в

случае р = п исходные векторы

сами

обра­

зуют базис. Теорема доказана .

5°. Одно

следствие из теоремы 2, относящееся к

алгебрам . В § 7 мы обещали доказать такое

предложе­

ние: если алгебра s& обладает

тем

свойством, что из

равенства

нулю произведения

ab

следует

равенство

нулю

хотя

бы одного из сомножителей а или Ь, то <s£

предложение. Д о к а ж е м

его теперь.

Пусть требуется

решить

уравнение

ах

= Ь,

(6)

где а Ф 0. Выберем

в векторном пространстве М- какой-

нибудь базис

в\у е2, • • •, 6п.

У м н о ж а я базисные

векторы слева

на

а, получим

дру­

гие п векторов

аеи

ае2,

аеп.

(7)

П о к а ж е м , что они снова образуют

базис.

Согласно теореме 2, достаточно показать, что век­

торы (7) линейно

независимы. Допустим, что это не так.

Тогда существуют числа ku

k2, ...,

kn,

не равные

одно­

временно нулю и такие, что

kxaex

- f k2ae2

+ . . . + knaen

= 0.