Файл: Кантор И.Л. Гиперкомплексные числа.pdf

klel

+ k2e2

+

. . . + knen = 0,

что

противоречит

линейной

независимости

векторов

е2,

еп.

Таким

образом,

векторы

(7)

образуют

базис.

Р а з ­

л а г а я

по

ним

вектор

Ь,

можем .записать

или

Ъ = sxae{

+ s2ae2

+ . . . - } - snaen

b =

a (s,e,

+ s2e2

+

. . . '

- f

s„e„).

Отсюда

видно, что элемент

х =

S]e,

+

s2e2

+ . . .

+ s„e„

является решением уравнения (6).

Это

решение

един­

ственно:

если

х'

— другое

решение,

то

вычитая

из

ра­

венства

ах =

Ь равенство ах'

—

Ъ, получим

а [х-

х') =

0,

откуда

следует х — х'

=

0, т. е. х —

х'.

Аналогично доказывается существование и единст­

венность

решения

уравнения

ха

=

Ъ.

6°. Координаты вектора в данном базисе. Последний

вопрос,

которого

мы

хотим

коснуться

в

этом

парагра ­

ф е , — это

вопрос

о

координатах

вектора

в

данном

ба­

зисе

пространства

А„.

Пусть

a i> о2,

. . . ,

ап

•—какой-нибудь

базис пространства

А„

и

p — kial

+ k2a2

+ , . . + / г „ о „

— разложение

произвольного

вектора

р е А п

по

этому

базису. Тогда

числа

klt

k2,

кп

называются

коорди­

натами

вектора

р

в

данном

базисе.

Р аве н с т во

( М , + ••• +

knan) + (/,а, + . . . + / „ о „ ) =

=

(/г,+

. . . +

(А„ + /„)а„,

вытекающее

из свойств

сложения

векторов

и умноже ­

векторов складываются их соответствующие

координаты

(первая — с первой,

вторая — со

второй

и

т. д . ) . Ана­

логично,' равенство

k (&,а, -{- &2а2 + . . . +

knan) = kkxax

+ kk2a2

+

• • •

+ kkna

показывает, что при

умножении

вектора

р

на

число k

образом,

в произвольном

базисе

alt а2, . . . , а п

правила

слооюения

векторов

и

умножения

вектора на

число

остаются

теми же,

что и в первоначальном

базисе

*ь

*2>

• • •. 'п-

§

10.

Подпространства

Остановимся коротко

на вопросе

о

подпространствах

пространства

А„. Так называются множества

векторов,

обладающие

некоторыми

специфическими

свойствами;

благодаря этим свойствам к а ж д о е

из

таких

множеств

можно рассматривать как самостоятельное

пространство

А р , где р < п.

1°.

Определение подпространства.

Пусть

Р — некото­

множество подпространством

пространства

А„, если оно

обладает

следующими

свойствами:

1)

из

а е Р

и

J e P

следует а + Ь е Р;

2)

из

Й Ё

Р следует

й о . е Р , где k — любое

действие

тельное число.

Иначе

говоря,

подпространство — это

такое

множе­

рами а,

Ь,

с, ...

содержит и все их линейные

комбинации

ka

+ lb

+

sc + ...

Тривиальным

примером

подпространства

является

множество, состоящее из одного лишь нулевого

вектора.

Это — так

называемое нулевое

подпространство.

Другой

тривиальный пример — все пространство

А п .

Однако,

кроме

этих двух крайних случаев,

могут

быть

и

другие

подпространства.

В следующем

пункте

мы

у к а ж е м , как устроено любое подпространство

простран­

ства

А„.

2°.

Подпространство

как

самостоятельное

векторное

пространство. Предположим, что подпространство

Р —

ненулевое. П о к а ж е м , что тогда

в

Р

можно

выбрать

си­

стему векторов, аналогичную базису. '

Возьмем какой-нибудь вектор

щ <= Р,

отличный

от

нуля. Если все векторы из Р разлагаются

no

fl|, то

на

этом

остановимся.

Если

ж е

в

Р

имеются

векторы,

не

разлагающиеся по

alt

то

выберем

один

из них

я 2 и

при­

соединим

его к ах.

Если

все

векторы

из Р

разлагаются

по я ь

я2 ,

то на этом остановимся. Если

ж е

в Р

имеются

векторы,

не разложимые

по

аи

я2 , то

выберем

один

из

них а 3 и

присоединим

его к

я ь

а2

и

т. д.

П р о д о л ж а я

я,,

я 2 ,

. . . , я р

( р < г е ) ,

(1)

принадлежащих

подпространству

Р

и

таких,

что:

1) любой вектор из Р

допускает

разложение по

ним;

2)

это

разложение

единственно: В самом деле,

если

бы существовали два различных разложения для

век­

тора я, то, вычитая их друг из

друга,

мы

получили бы,

что некоторая

линейная

комбинация

Sjfl] +

s2a2

+ . . .

. . . - j ^ Spflp

равна

нулю,

причем хотя бы один из

коэф­

фициентов

S\,

s 2 ,

s p

отличен от нуля; это означало

бы линейную

зависимость

системы

(1).

Итак, рассматриваемое нами подпространство Р со­

стоит

из всевозможных векторов

вида

'

k\ay

+

^2а2

+ . . .

+

йрЯр,

причем представление

любого

вектора

о

ё Р

в

таком

виде

единственно.

Это

позволяет

нам

рассматривать

Число

р

называют размерностью

подпространства

Р .

Оно, как мы видели, не превосходит п; в случае,

когда

оно равняется

п, система

(1) будет

базисом всего

про»

странства

А п

(см. снова

теорему 2

предыдущего

пара ­

графа.)

и, следовательно,

Р совпадает с А„.

Рис.

11.

Рис.

12.

Из сказанного выше вытекает одно очевидное след*

ствие,

которое

мы хотим

подчеркнуть

особо: любое под'

пространство

Р

совпадает

с

множеством

всех

линейных

комбинаций

некоторых

р

век­

торов

аи а2,

...,

ар.

3° . Примеры. Проиллюстри­

руем

понятие

подпространства

в случае трехмерного вектор­

ного

пространства Аз.

Пусть Р — ненулевое

под­

пространство в A3. Базис Р со­

стоит не более чем из трех

векторов, т. е. имеет один из

видов:

а,;

я,,

а2;

а,,

а2,

а3 .

Рис. !3.

В

первом случае

Р

состоит

из всех

векторов вида kait

т. е. из всех

векторов,

пропор­

ство

всех

векторов вида

+ k2a2,

следовательно, Р.

состоит из

всех векторов,

л е ж а щ и х в той ж е

плоскости,

что и яг, а2

(рис. 12). В третьем случае Р есть

множество

всех

векторов вида k\a{ +

k2a2 -f- к\а$,

т. е. всех вообще

векторов пространства А 3

(рис. 13),

§ 1 1 . Л е м м а

об однородной системе уравнений

Цель этого п а р а г р а ф а чисто вспомогательная. Мы

отвлечемся на

короткое время от векторов и обратимся

отношения:

к системам линейных

уравнений.

Собственно

речь будет

идти

только

об

однородных

уравнениях,

а еще точнее — об

одной

лемме, относящейся к систе­

лемму поможет нам

установить

в а ж н ы е

предложения .

К а к

известно, линейное уравнение называется одно­

родным,

если его свободный член

равен нулю. Несколько

отступая

от способа

записи, принятого

в элементар­

a!A", -f- а2х2

+

• • • +

— 0

— Ь е

уравнение

\

/;,А', + & 2 * 2 +

• • • +

Ьпхп = 0

— 2-е уравнение

I / i \

dlxi - f d2x2

+

• • • +

dn.xn — 0 — m-e

уравнение

J

П о л а г а я

Xj — О,

X2 — 0, • * •) xn

—— Of

\

стемы.

Это

решение

называется

нулевым.

Во

многих

случаях

бывает

в а ж н о

знать, имеет ли д а н н а я

однород­

ная система

еще и ненулевое решение. Частичный

ответ

на этот вопрос дает следующая

лемма .

Л е м м а .

Однородная

система,

в которой

число

урав­

нений

меньше

числа

неизвестных,

всегда

имеет

нену­

левое

решение.'

m —

Доказательство

будем вести

индукцией

по

числу, уравнений в системе (1).

Если

in =

1,. то

нам

дано

только

одно

уравнение,

в то

время

как число

неизвестных

больше

единицы.