Файл: Кантор И.Л. Гиперкомплексные числа.pdf

х2 =

сс2,

#з =

(Х3,

. . . ,

хп

— а„.

Д о б а в л я я

к

нему

значение

Х\,

определяемое

из первого

уравнения'системы

( Г ) :

.

х1 = — -^-{а2а2

+ . . . +

апап),

получим ненулевое решение всей системы

(1'),

а зна­

чит, и

исходной

системы

(1). Л е м м а

доказана .

§

12.

Скалярное

произведение

•

В

основе

всех

понятий,

изучавшихся

в

этой

главе

до

сих пор,

л е ж а т

две операции

над

векторами:

сложе­

ние векторов и умножение вектора

на число. М е ж д у тем,

если иметь в виду обычные

геометрические

в е к т о р ы * ) ,

то

круг

понятий,

связанных

с

ними,

значительно

шире:

например,

к а ж д ы й

вектор

имеет

длину,

суще­

ственно

попытаться

нацти

д л я /г-мерного

случая

разум ­

ный способ

введения таких

понятий, как

длина, перпен­

дикулярность и т. п. Это и будет

сделано ниже.

1°.

Скалярное

произведение

обычных

геометрических

векторов.

*

Пусть

на

плоскости даны

два

векто­

ра х и у, выходящие из

начала

О

прямоугольной

системы

координат.

Координаты

первого

вектора

пусть

будут

а:ь

х2,

второго

уи

у2. Итак,

Рис.

14.

У =

У i*i +

У2к>

где i u

i2

— векторы

длины

1, имеющие направления

ко­

ординатных осей (рис. 14).

Обозначим концы данных векторов соответственно

через

X

и

Y. Точка

X имеет

координаты хи

х2,

точка

Y — координаты уи

у2.

Из

формулы

для

расстояния

между

двумя

точками

имеем

,

XY2 = (yi-xl)2

+

(y2-x2)2,

•OX2 =

x\ +

xl

OY2.=

y\

+

y\,

' откуда

следует

ОХ2 + OY2 — XY2 =

2 (.ад! - f х2у2).

(1) .

Из этого равенства легко

увидеть

(если

учесть

теорему

П и ф а г о р а ) ,

что

необходимым

и достаточным

условием

перпендикулярности

х

и у

является

Х1У1 +

х2у2 =

0.

Заметим,

что

если

это ж е

рассуждение

применить

к векторам

не на, плоскости,

а в

пространстве,

то по­

лучим

условие

перпендикулярности

в

аналогичной

форме:

XiUi

+ х2у2

+ х3у3

= 0.

ч

Формула (1) наводит на мысль связать с каждой

парой

векторов х и у

на плоскости

число

ххУ1

+ х2у2,

(2).

а в пространстве — число

Х1У1 +

х2у2

+ х3у3.

(2')

Это число в геометрии называют

скалярным

произведе­

нием векторов х

и р

обозначают

(х,

у)..

х

Заметим,

что длина

произвольного

вектора

выра­

ж а е т с я через

скалярное

произведение. А именно-, в

случае

плоскости

а в случае

пространства

\х\=У**

+ 4

+

х*,

т а к что в

обоих

случаях справедлива

формула

\x\=VWxJ.

2°.

Общее

определение

скалярного

произведения.

Рассмотренное

выше

скалярное

произведение

векторов

на плоскости и в пространстве обладает

рядом

простых

свойств. Вот некоторые из них:

1)

(х,

х)^0,

причем

(Л:, JC) =

0 только

при

ж = 0;

2)

(ж,

у)

= (у, ж);

3)

(х,

ky)

=

k(x,

у),

где

/г — л ю б о е

действительное

число;

4) (х, у + г)

= {х, у).+

{х,

г).

Первые

три

свойства

непосредственно вытекают из

сложнее.

Приведем

его

д л я

случая

пространства:

(х,

у +

г)

= Х[ (у{

+

2 , )

+

х2 (г/2

- f z2) +

х3 {у3

+

z3 )

==

=

(Х1У1 +

Х2У2 +

ХзУ3)

+

( X , Z , +

X2Z2 +

А ' 3 2 3 )

=

(X,

у) +

{х, «)•

Мы

подходим

теперь

к центральному

месту

в

этом

свойства

1)—4)

сохранили

силу.

Ввиду

этого

примем

следующее

определение.

говорить, что в л-мерном

О п р е д е л е н и е .

Будем

векторном

пространстве

А п

задано

скалярное

произве­

дение,

если

к а ж д ы м

двум векторам х и у

сопоставлено

некоторое действительное

число — обозначим его

(х, у) —

так, что выполнены

свойства

1), 2), 3), 4).

Число

(х, у)

будем называть скалярным

произведе­

нием

вектора

х

на вектор

у.

3°.

Один

способ

введения

скалярного

произведения.

можно ли хотя бы одним способом ввести в

простран­

стве

А п

скалярное

произведение?

Ответ

на

него

подсказывают

выражения (2) и

(2'). А

именно,

выберем

в пространстве

А п какой-нибудь

базис

<Zi,

а2,

. . . ,

ап

и сопоставим

к а ж д ы м

двум

векторам

х

и у

число

(х,

у) = ххуу

+ х2у2+

• • • +

ХпУп\

(3)

здесь

хи

х2,

хп

— это

координаты

вектора

х,

а

У и У%

Уп — координаты

вектора у

в

выбранном

ба­

зисе,' т.

е.

х = хха{

+ х2а2

+ . . . +

хпаП1

У = У\а.\Л- УФг+

•••

Тогда, как нетрудно

показать, все свойства

1)—4) бу­

дут выполнены,

и следовательно,

(л:, у) будет

скалярным

произведением.

Если

выбрать

другой

базис

и сопоставить

векторам х и у число

(*,

»

г

=

^ ;

+ ^ +

. . .

+ л - х

(где

4. •••>

хп

и

#2- •••>

#п

С У Т Ь

координаты

лярных

произведений.

В

дальнейшем будет показано, что указанный

выше

способ

введения

скалярного

произведения

является

об­

щим:

именно,

как

бы ни

выбиралось

в

пространстве

Ап

скалярное

произведение,

обязательно

найдется такой

ба­

зис (и

даже

не

один),

в

котором

имеет

место

фор­

мула

(3).

4°.

Длина

вектора,

ортогональные

векторы. После

того,

как дано

определение

скалярного

произведения,

трехмерным случаями.

А

именно,

длину,

или

норму,

«-мерного

вектора

х мы

определяем

формулой

\x\=V&~xj

(число,

стоящее

под знаком корня, неотрицательно в

силу свойства

1)

скалярного произведения);

перпенди­

кулярными,

или

ортогональными,

называем векторы х

и у,

скалярное

произведение

которых

равно

нулю..

В этом

случае

мы

пишем

Итак,

х±у.

х ± у

означает,

что

(х,

у) =

0.