Файл: Кантор И.Л. Гиперкомплексные числа.pdf

П р е ж д е всего

установим, что справедливы следую­

щие два свойства, дополняющие 3) и 4):

30

(kx, y) = k(x, у);

40

(х+.у,

г) =

(х, *) +

{у, г).

Свойство

30

вытекает

из цепочки

равенств

(kx,

у) = (у,

kx) = k (у, ж) =

/г (ж, у),

в к а ж д о м из которых

использовано одно из свойств ска­

(ж, + ж2 +

.. . + жр, у, + у2 +

.. . + Уд) = S (Xi,

yi),

т. е. скалярное умножение

суммы

на сумму

подчиняется

обычному правилу: к а ж д о е

слагаемое

первой

суммы

надо

у м н о ж и т ь на к а ж д о е

слагаемое второй

и

резуль­

таты

сложить. Отсюда, а

т а к ж е

из свойства

3") полу­

чается и правило

умножения

одной линейной

комбина­

ции

на другую:

(k{xx

+ k2x2 + . . . + kpxp, lxyx - f l2y2

+ . . . + lqyq) =

= 2 ktl,

(ж,-, у/).

(4)

И з этой формулы мы сейчас

получим

выражение

скалярного

произведения

(х, у)

через координаты

век­

торов ж и у. Пусть в пространстве А„ выбран

некото­

рый

базис

а ь а2, . . . , ап.

(5)

Рассмотрим

два произвольных

вектора

ж и у. Р а з л а г а я '

их по базису (5), получим

ж =

л^а, + ж2 а2 +

• • • + ж„а„,

0 =

#i<*i + у2а2

+

. . .

4 - у „ е „ .

Теперь

д л я

подсчета

скалярного

произведения

(х, у)

можно

воспользоваться

формулой (4):

(*> У) =

2

dj).

Величины

gij

=

{ah

dj)

— это

постоянные числа,

зависящие

только от выбран ­

ного базиса. Таким образом, если

фиксирован

опреде­

ленный базис, то д л я скалярного

произведения

полу­

чается

выражение

(х,

у)

=

2

enXiUf

(6)

i. I

Это — весьма

полезный

результат;

с его помощью

мы

сейчас д о к а ж е м ряд в а ж н ы х предложений.

6°. Существование

вектора,

ортогонального

к

дан ­

фиксировали, а

вектор

х хотим

выбрать

так,

чтобы

он

был ортогонален

у, т.

е. чтобы

было (х,

у) =

0.

Тогда

для определения Х\,х2,

хп — координат неизвестного

вектора х — получается

в силу

(6) уравнение

2

==0.

Поскольку gij и

yj — заданные

постоянные

числа,

то

ле­

принимает вид ахХ\

+

а2х2 +

... + апхп;

следовательно,

полученное уравнение — линейное и

однородное

относи­

тельно неизвестных

хи

х2,

...,

хп. .

Если нужно, чтобы вектор х был ортогонален

не

одному вектору у,

а нескольким векторам

Уь

У2,

Ур,

то д л я определения

его

координат

получается

у ж е

не

одно

уравнение,

а

система из р уравнений. По лемме

§ 11

т а к а я система

заведомо

имеет

ненулевое

решение,

Т е о р е м а . Если в

пространстве А„ даны

векторы

Уи

Уъ •• •> УР,

причем

число

этих

векторов

меньше

п,

то

обязательно

существует

ненулевой

вектор

х,

ортогональный

каждому

из данных

векторов*).

Эта теорема имеет многочисленные следствия. Мы

рассмотрим

здесь

только

одно

из

них;

в

дальнейшем

оно

сыграет

в а ж н у ю

роль.

С л е д с т в и е .

Если

подпространство

Р

простран­

ства

Ап

не

совпадает

со

всем

пространством

А„,

то

су­

ществует

ненулевой

вектор

l e A , ,

ортогональный

као/с-

дому

вектору

из

Р

(или,

как мы

скажем

короче,

орто­

гональный

всему

подпространству

Р ) .

Доказательство почти очевидно. Выбираем

в

Р

ба­

зис

из

векторов

У\> Уъ

• • •> Ур,

поскольку Р не совпадает с

А,г , то р <

п.

По

доказан ­

ному,

найдется

вектор

х Ф

О,

ортогональный

к а ж д о м у

из векторов г/ь у2,

. . •,

Ур-

Но тогда

х ортогонален

и

лю ­

бой линейной комбинации этих векторов:

(*, k{yx

+

k2y2

+

.. . + kPyP)

=

= &,(*>-yi) + k2{x,

у,)-\-

. . .

-\-kp{x,

yp) = 0.

Следовательно,

x

ортогонален

любому

вектору

из

Р .

7°. Р а з л о ж е н и е

вектора

на д в а составляющих. Мы

закончим

этот

параграф

одним

утверждением,

кото­

рое

в двумерном и

трехмерном случаях

в ы р а ж а е т

гео­

метрически очевидный факт; здесь оно

будет доказано для пространства лю­

бой размерности

п.

Пусть

i — какой-либо

вектор,

от­

личный

• от

нулевого.

Тогда

любой

вектор

а

можно

разложить

на

два

слагаемых,

из

которых

одно

пропор­

ционально

i,

а другое

ортогонально

i

Рис.

15.

(рис. 15): •

а =

ki

+

и,

где

и

X i.

через ы, получим требуемое

разложение д л я а. Итак,

необходимо, чтобы

,

(а — ki,

i) = О

или, что то же,

(i,

t)

(следует

учесть,

что

( М )

0,

так

как

вектор i — нену­

левой) .

§ 13. Ортонормированный базис.

Ортогональное

преобразование

1°. Определение'ортонормированного

базиса. Мы уже

знаем, что в пространстве А„

существует бесчисленное

множество

базисов.

Д о

введения

в

А п

скалярного

произведения

у

нас

не

было

причин

выделять

какие-

либо из них особо. Однако с того

момента,

как

возникает

скалярное

произведение,

некоторые

базисы

начинают

играть

привилегирован­

ную

роль.

Это — так

называемые

ортонормированные

базисы.

Базис

а„

а2

ап

Рис 16.

называется

ортонормированный,

если любые два базис­

ных

вектора ортогональны

друг

другу:

.

(а,,

а,)

=

0

(/,

/ = 1

п;

(1)

(ah

а , ) = 1

( / = 1 ,

л).

(2)

В обычном трехмерном пространстве ортонормиро­

ванный базис — это л ю б а я тройка

попарно перпендику­

лярных единичных векторов (рис. 16).

-

Заметим, что

слово

«ортонормированный»

происхо­

ванный».

Вектор

а называется

нормированным

или

единичным,

если

его длина равна

1.