Файл: Кантор И.Л. Гиперкомплексные числа.pdf

Скачать файл (4,67Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 25.07.2024

Просмотров: 124

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

О р т о н о р м и р о в а н н ый базис замечателен тем, что в нем получается особенно простое выражени е дл я ска

лярного произведения.	Воспользуемся	формулой
(*> у)	= 2 XiHi {ah	at),

доказанной в предыдущем параграфе . Если учесть, что

базис — ортонормированный, т.			е. что	справедливы	ра
венства (1) и (2),	то	получается	сразу
(X, у)	=	Х1у1 +Х2У2+	. . .	-\-Xnlfn,	(3)

таким образом в ортонормированием базисе скалярное

произведение

равно

сумме произведений

одноименных

координат

(первой — н а

первую,

второй — на

вторую

и т. д . ) .

2°. Существование ортонормированных базисов. Хотя

мы

установили

важное

свойство

ортонормированного

базиса,

но

не

знаем

ещё главного: существует

ли

хотя

бы

один ортонормированный базис?

Сейчас м ы

дока -

жем, что такой

базис

существует.

Начнем с такого замечания . Пусть вектор а не яв

ляется

нормированным

(однако а Ф

0).

Тогда

из

него

можно получить нормированный вектор а' по формуле

Действительно,
(«'. а ' ) = т 7 \| г ( а > <*) = !•
Переход от а к а' называют нормированием	вектора а.
Существование ортонормированного	базиса легко

следует из теоремы, доказанной в предыдущем -пара графе. Мы берем любой отличный от нуля вектор fej;


нормируя его, получаем единичный вектор							ах. Д а л е е
берем любой отличный от нуля				вектор		Ь2,	ортогональ
ный а{; нормируя его, получаем				а2. Д а л е е		выбираем		век
тор 63 Ф 0, ортогональный ах			и	а2\ нормируя его, полу
чаем вектор а3	и т. д., пока		не	дойдем		до	вектора	ап,
ортогонального	ранее	построенным,			векторам аи а2,			. . ,
а п _ \| . Полученная		таким	путем		система

будет базисом в силу теоремы 2 § 9. Действительно, число векторов в системе равно п и, кроме того, эта

система линейно независима: в противном случае, если бы один из векторов системы разлагалс я по предшест

вующим,		например,
			а3	=	ая, -\- ра2>
то,	умножив обе		части	равенства		скалярио	на вектор
«з,	мы получили		бы
			(«з.		«з) = О,
что невозможно, ибо (а3,а3)					= I .
	Заметим, что,		доказа в		существование ортонормиро-
ванного		базиса,	мы тем		самым	выполнили	обещание,

данное в предыдущем параграфе : мы показали, что

существует		по крайней	мере один	базис, в	котором	ска
лярное	произведение		выражается	формулой	(3).
3°.	Способ	получения	всех ортонормированных		базисов.	При

изучении ортонормированных базисов возникает ряд интересных

вопросов. Вот один		из	них: как получаются	ортонормироваиныё
базисы	друг из друга? В § 9 мы говорили о том, что любые два
базиса	пространства	А п	получаются одни из	другого цепочкой

элементарных преобразований. Конечно, это предложение спра

ведливо, в частности, и для ортонормированных	базисов, но для
них оно не представляет особенного интереса:	ведь, применив

к ортонормированному базису элементарное преобразование, мы получаем, вообще говоря, уже не ортонормированный базис (хотя после нескольких элементарных преобразований может получиться снова ортонормированный базис). Нам хотелось бы, естественно, связать любые два ортонормированных базиса цепочкой таких пре образований, чтобы после каждого из них получался снова орто нормированный базис. Оказывается, это можно сделать следую щим образом.

Пусть ах, Дг ап —ортонормированный базис. Назовем эле ментарным ортопреобразованием над базисом любое из следующих действий.

1. Умножение любого из базисных векторов на —1. Ясно, что в результате такого преобразования получается снова ортонормиро ванный базис.

2. Замена каких-либо двух векторов a,-, aj (i ф j) данного ба зиса новыми векторами а\, a'j по формулам

ai = cosa 0[ — sma a;-, a'j = sina at + cosa a^,

где a — любое действительное число.

Роль элементарных ортопреобразований вскрывает следующая

теорема, которую мы приводим здесь			без доказательства.
Т е о р е м а . От любого		ортонормированного		базиса	к	любому
другому	ортонормированному	базису	можно	перейти	с	помощью
конечного	числа элементарных	ортопреобразований.

4°. Ортогональные	преобразования .	С понятием пре
образования читатель,	вероятно, у ж е	знаком (некото

рые виды преобразований изучаются, например, в- школьном курсе геометрии). В данном случае речь будет идти о преобразованиях я-мерного векторного про

странства

А„.

преобразование

простран

Мы

говорим,

что

задано

ства

Ап,

если

указано

правило,

по

которому

любому

вектору

й е А „

отвечает

другой

вектор

а ' е А » .

Наличие

такого

правила

можно

отразить

следую

щей

записью:

а'

—

(а),

где символ

F служит

д л я

обозначения

того

способа,

ко

торым а' получается из о.

Преобразование

называется

линейным,

если

оно

удовлетворяет

следующим

двум

условиям:

F(x

F(x)

F(y);

F{kx)

kF(x),

где х

и у — любые два

вектора,

а /г — любое

число. Обо

значив

векторы F(x)

F(y)

через

х'

и у',

можно

пере

фразировать эти

условия

так:

тройку

векторов

х,

у,

х-\-у

преобразование

переводит в

х',

у',

х'-\-у',

пару

х,

— в

пару

х',

kx'.

Иначе

говоря,

преобразова

ние линейно, если оно «не разрушает» ни суммы векто ров; ни произведения вектора на число.- Разумеется, от

сюда	следует,	что	линейное преобразование не разру
шает	и линейных		комбинаций:
^ ( & l * l	+ &2*2 +	• • •	+ kpxp)	=
			= klF(xl)	+ k2F(xa) + . . .	+kpF(xp)-

Допустим, что в пространстве А„ введено скалярное произведение. Тогда среди всех линейных преобразова ний особый интерес приобретают такие, которые «со храняют» это скалярное произведение, т. е. обладают свойством

	(F	(ж), F (у))		= (ж, у)		д л я любых ж, у			€= А„.
Такие	преобразования				называются			ортогональными.
Ясно,		что	ортогональное				преобразование		сохраняет
и длину		любого		вектора	ж,	т.	е.
				\Р(х)\		=	)х\.
Это	следует		из	того,	что		длина	в ы р а ж а е т с я через
86				'

с к а л я р н ое произведение:

Сохранение длины любого вектора можно принять за

определение ортогонального преобразования . Это

вид

но из того, что скалярное произведение,

свою

оче

редь,

в ы р а ж а е т с я

через

длины.

самом

деле,

из

оче

видного

равенства

(х

+ у, х + у)

(х,

х)

+ (у,

у)

(ж, у)

{у,

х)

вытекает

2 (х,

у)

(х + у, х +

у) — (ж, х) — (у,

у)

= \х +

у ? - \ х ? - \ у ?

Ортогональные

преобразования

обладают

рядом'

в а ж н ы х свойств. Укажем одно из них.

Пусть

flj,

а2 ,

ап

— ортонормированный

базис.

Тогда

векторы

= F{a{),

a'2 =

F(a2),

a'n

F{an)

т а к ж е образуют ортонормированный базис.

Иначе

говоря,

ортогональное

преобразование

пере

водит

любой

ортонормированный

базис

снова

орто

нормированный

базис.

В самом деле, поскольку преобразование F ортого

нально,

то

(ар

а^

— (аг.,

a'D

(i,

—

любые' номера

от

1 до

п),

следовательно,

векторы

а',

а£,

а'п,

подобно

а{, 1

0 2 ,

0 « , удовлетворяют

соотношениям

« ,

< ) = 1 ,

(а'.,

а',) =

(при i

/);

отсюда

вытекает, что они

образуют

ортонормированный

б а з и с -

( с м . рассуждение

конце

2 ° ) ;

5°.

Преобразование,

обратное

ортогональному.

П р е ж д е

всего установим

такой

факт.

Д л я

ортогонального

преобразования

уравнение,

F(x)

(4)

при

любом

б е

А„

имеет

единственное

решение.

Это

можно

доказать

следующим

образом.

Пусть

аи

а2,

ап

— ортонормированный

базис.

Тогда,

как

мы

знаем,

в е к т о р ы a \ = F(a^,

ar0

F[a^,

0 „ =

- F (0„)

тоже образуют ортонормированный

базис.. Р а з л о ж и м по

нему вектор Ь:

b = k1a'l

+ k2a'2-{-

. . .

+ - * Х

и покажем,

что

вектор

а = kxax

+ k2a2 + . . . + knan

удовлетворяет

уравнению

(4). В самом

деле,

из

линей

ности

преобразования F следует, что

F(a)

kla'l + k2a'2+

. . . +kna'n

Этим

доказана

разрешимость

уравнения

(4). То,

что

решение

единственно,

доказывается совсем просто: если

F{x])

F{x2) = b,

то

F(x\)

F(x2),

значит,

F{x\

—

х2)

Н о

тогда

— х2\ = 0, т. е. xi = х2.

Если

к а ж д о м у вектору

б е

А„

поставить

в соответ

ствие

вектор

х,

являющийся

решением

уравнения

(4),

то

получим

новое

преобразование,

которое называется

обратным

преобразованием

F и

обозначается

F~K

Доказанное . в ы ш е

предложение

может

быть

теперь

сформулировано

по-другому:

для

ортогонального

пре

образования

всегда

существует

обратное.

Естественно

возникает

вопрос:

будет

ли

обратное

преобразование

снова

ортогональным?

Д о к а ж е м ,

что

это так.

Линейность F~l- очевидным образом следует из ли

нейности F: если F переводит

тройку

векторов

х,

у,

х-\-у

в тройку х , у

, х

+ у , то, обратно,

переводит

х ,

у ,

Ату

х,

у,

х + у;

если F переводит

п а р у

х,

в п а р у

х',

, то F'1

переводит х , kx

в ж, kx.

Д а л е е , из

равенства

следует

(ж,

у)

{х',у')

(F-l(x),F-\y'))

(х',у').

Таким

образом,

преобразование

F - 1

линейно

со

храняет скалярное произведение. Следовательно, оно

ортогональное.
Итак, преобразование,		обратное к	ортогональному,
снова является	ортогональным.

Смотрите также файлы

Каплун Я.Б. Прикладная геометрия для химического машиностроения [Текст] 1974. - 152 с.pdf

Карташов Ю.М. Оборудование для исследования физико-механических свойств горных пород (патентный обзор) [сотрудникам НИИ, проектно-конструкторских и проектных институтов].pdf

Качуринер Д.М. Теоретическая механика (краткий курс лекций) учеб. пособие.pdf

Килов Х.И. Фортран для БЭСМ-4 (МИФ) учеб. пособие.pdf

Клевенский А.Е. Моделирование геометрических понятий и технология проектирования.pdf

Файл: Кантор И.Л. Гиперкомплексные числа.pdf

Смотрите также файлы

Информация

Списки файлов

Дополнительно