ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 25.07.2024
Просмотров: 125
Скачиваний: 1
6°. «Сколько» существует различных ортогональных преобразо ваний? Возникают естественные вопросы: существуют ли вообще ортогональные преобразования н насколько велико их число? Отве тить на них нам поможет следующее предложение.
Пусть даны два ортонормированных |
базиса |
|||||
|
д | . Ч |
ап 1 1 |
а 1> а 2 |
а'п- |
||
Тогда |
существует, |
и притом единственное, |
ортогональное преобразо |
|||
вание, |
переводящее |
первый базис во второй. |
||||
Искомое преобразование F определяется следующим образом: |
||||||
каждому вектору |
|
|
|
|
|
|
|
|
а — /?] а | + |
й2 а2 |
+ • • • |
+ knan |
|
сопоставляется вектор |
|
|
|
|
||
|
F |
(а) = |
kxa\ + |
k2a2 |
+ ... |
+kna'n. |
Покажем, что это преобразование — ортогональное.
Линейность преобразования F очевидна. Остается только прове
рить, что F сохраняет скалярное произведение. |
Пусть |
|
|
|
||||||||
х = |
ххах + |
... |
+ хпап |
и |
у = |
ухах-\- |
... |
+ yrlan |
, |
(5) |
||
— два произвольных вектора из А п . Имеем |
|
|
|
|
|
|||||||
F(x) = xla\ + |
. . . + хпап, |
F(y) |
= yla'1+ |
... +упап. |
|
(6) |
||||||
Поскольку |
базис а ь . . . , ап |
— ортонормированный, |
то |
из |
(5) |
сле |
||||||
дует |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(х, |
у) = ххуЛ |
+ |
х2у2 |
+ |
... + ХпУп- |
|
|
|
|
||
Но и базис |
а\ |
а'п — Ортонормированный, |
поэтому |
из |
(6) |
сле |
||||||
дует |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(F (х), F {у)) = |
*,//, + |
х2у2 |
+ ... |
+ хпуп. |
|
|
|
||||
Отсюда |
|
|
(*, s)=(F(x), |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
Fly)), |
|
|
|
|
|
||||
т. е. преобразование |
|
F—ортогональное. |
|
|
|
|
|
|
||||
То, что не может |
быть другого |
ортогонального |
преобразования, |
|||||||||
переводящего первый базис во второй, легко следует из линейности ортогонального преоОразования. Действительно, ввиду линейности искомое преобразование обязано быть таким, как мы его определили.
Йз доказанного нами предложения можно вывести такое заклю чение: между множеством всех ортонормированных базисов и мно жеством всех ортогональных преобразований можно установить взаимно однозначное соответствие. Для этого следует один из орто нормированных базисов — обозначим его 5о — зафиксировать, а лю бому другому ортонормированному базису Б поставить в соответ
ствие то самое ортогональное преобразование, которое переводит £о в Б. Таким образом, ортогональных преобразований «столько же»!
сколько существует различных ортонормированных базисов.
Глава 3
ИСКЛЮЧИТЕЛЬНОСТЬ ЧЕТЫРЕХ АЛГЕБР
Среди бесконечного многообразия всех алгебр неко
торые |
алгебры |
занимают |
исключительное |
положение. |
||||
Это — алгебра |
Ж |
всех |
комплексных |
чисел, |
-алгебра Q |
|||
кватернионов и |
алгебра |
О |
октав. Что |
ж е именно |
отли |
|||
чает |
эти алгебры |
от всех |
остальных? Н а |
этот |
вопрос |
|||
можно отвечать по-разному, но общий смысл всех отве тов сводится к следующему: по сравнению с другими алгебрами указанные три наиболее близки к своей пер вооснове — алгебре 3) всех действительных чисел. Эта близость проявляется, например, в том, что:
1. Алгебры ЗУ, Ж и Q — единственные алгебры с де лением, в которых умножение обладает свойством ас
социативности. Это |
предложение, |
в |
несколько более точ |
||||||||
ной формулировке, |
носит |
название |
теоремы Фробениуса. |
||||||||
|
2. Алгебры |
3), |
Ж, |
Q |
и О — единственные |
алгебры |
|||||
с |
делением, |
в |
которых |
справедливы |
формулы |
(uv)v |
= |
||||
= |
u(vv) |
и |
v(vu) = |
(vv)u |
(ослабленный вариант |
ассо |
|||||
циативности, называемый альтернативностью). Это ут
верждение называется |
обобщенной теоремой |
Фробе |
ниуса. |
|
|
3. Алгебры 3), Ж,'Q |
и О — единственные |
алгебры |
с единицей, в которых можно ввести скалярное произ ведение так, чтобы выполнялось правило «норма произ ведения равна произведению норм». Этот факт состав
ляет содержание теоремы |
Гурвица. |
|
|
|||
Словом, в иерархии |
алгебр |
положение |
представ |
|||
ляется |
примерно |
в следующем |
виде. «Основой |
основ» |
||
служит |
алгебра |
действительных |
чисел. Ее |
ближайшим |
||
соседом |
является |
алгебра |
комплексных чисел, в |
кото |
||
рой умножение сохраняет все важнейшие свойства умно жения действительных чисел: оно коммутативно, ассо циативно, обратимо (иначе говоря — возможно деление)
90
и для него существует |
единица. Д а л е е |
следует алгебра |
||||
кватернионов — из |
перечисленных выше |
свойств |
в ней |
|||
теряется, |
только |
коммутативность |
умножения. |
Ещ е |
||
д а л ь ш е |
расположена |
алгебра октав, |
где ассоциатив |
|||
ность заменяется слабым подобием этого свойства — «альтернативностью», но по-прежнему возможно деле ние и существует единица. Все остальные алгебры не удерживают д а ж е и этих свойств. Конечно, отсюда еще не следует, что остальные алгебры менее интересны или менее важны, — в данном случае речь идет только о большем или меньшем сходстве с алгеброй действитель ных чисел.
Ко всему сказанному мы можем добавить еще одно замечание. В гл. 1 была поставлена «задача о сумме
квадратов», |
з а к л ю ч а ю щ а я с я |
в разыскании |
всех |
тож |
||
деств |
определенного |
типа: |
|
|
|
|
(а? + |
а | + . . . |
+ |
+ь2п) = |
|
|
|
|
|
|
= |
Ф? + Ф 2 + ••• |
+ Ф п |
(1) |
(см. § 3). Исходя из одного упомянутого выше |
свой |
|||||
ства |
алгебр |
2), Ж, |
Q и О (норма произведения |
равна |
||
произведению норм), мы построили в гл. 1 конкретные
примеры |
таких |
тождеств |
для п= |
1, |
2, |
4, |
8. В |
настоя |
|||||
щей главе будет показано, что число |
п |
в |
тождестве (1) |
||||||||||
может принимать только эти четыре |
значения; |
решаю |
|||||||||||
щую роль в доказательстве этого факта будет |
|
играть |
|||||||||||
теорема Гурвица. Таким образом, и |
в «задаче о |
сумме |
|||||||||||
квадратов» |
основными |
персонажами |
выступают |
|
все те |
||||||||
ж е алгебры |
SD, Ж, Q и О. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Эта |
глава |
посвящена |
уточнению |
и |
доказательству |
||||||||
всех |
перечисленных |
выше |
фактов. |
|
|
|
|
|
|
||||
§ 14. |
Изоморфные |
алгебры |
|
|
|
|
|
|
|||||
Согласно |
определению, данному |
в § 7, л ю б а я |
алгебра |
||||||||||
размерности п состоит из элементов, |
однозначно |
пред- |
|||||||||||
ставимых в |
виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
а,*! + |
a2i2 |
+ . . . + |
anin, |
|
|
|
|
||
с естественным законом сложения элементов между со бой и умножения их на действительные числа; другими словами, к а ж д а я алгебра размерности п есть, прежде всего, «-мерное векторное пространство. Сверх того,
91
д о л ж н а быть з а д а н а |
таблица |
умножения (первоначаль |
|||
ных) базисных |
элементов i{; t2 , . . . , |
i n , т. е. таблица |
из |
||
/ I 2 соотношений |
вида |
|
|
|
|
*а^р = = |
^ар.1 ' ) |
~Г" ^ар,2' 2 |
~~\~ • • • |
"Т" ^ар> я ' л |
(1) |
|
( а , р = 1 , 2 , |
п), |
|
||
где & a p i Y — некоторые действительные числа. После того как указаны правила перемножения базисных элемен тов, произведение любых двух элементов
|
«1*1 + . • • + anin |
и |
+ . . . + |
bnin |
|
|||
алгебры производится по обычному правилу |
умножения |
|||||||
суммы |
на |
сумму, |
с последующим |
учетом |
соотноше |
|||
ний (1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
Можно |
сказать |
поэтому, что |
л ю б а я алгебра |
размер |
||||
ности |
п — это «-мерное |
векторное |
пространство |
А п , в |
||||
котором дополнительно з а д а н а таблица умножения ба
зисных |
элементов — таблица (1). |
|
Казалось бы, отсюда напрашивается вывод, что две |
||
алгебры |
размерности п, определенные различными |
таб |
лицами умножения, следует рассматривать как различ
ные |
алгебры. Однако |
такая |
точка |
зрения |
. была бы не |
||||||
совсем правильной, и вот почему. |
|
|
|
|
|
|
|||||
Пусть s4- — алгебра размерности |
п |
с |
первоначальным |
||||||||
базисом ii, i2, |
i n |
и таблицей |
умножения (1). Перей |
||||||||
дем |
в векторном пространстве |
s& |
к |
другому |
базису |
||||||
i\, i2, |
in\ |
естественно, получим |
и |
другую |
таблицу |
||||||
умножения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
iah |
— AiP,I ii |
+ |
/аР,2 ii |
+ |
• • • |
+ |
^аР,п in |
(2) |
||
|
|
(а, |
р = |
1, 2, |
. . . . п). |
|
|
|
|
||
Теперь представим себе еще одну |
алгебру — обозна |
||||||||||
чим |
ее зФ' — с первоначальным |
базисом |
i\,,h, |
in.K |
|||||||
с таблицей умножения |
(2). Следует |
ли |
рассматривать |
||||||||
ее как новую алгебру? Формально, разумеется, это так,
но, |
по существу, |
есть |
та ж е с а м а я |
алгебра |
s&, |
толь |
|||
ко |
отнесенная к |
другому |
базису. |
Естественно |
поэтому |
||||
считать |
различие |
между |
алгебрами |
s4- и |
^ ' н е с у щ е |
||||
ственным. Т а к а я |
точка зрения находит свое |
выражение |
|||||||
в понятии изоморфизма. |
|
|
|
|
|
|
|||
|
О п р е д е л е н и е . Д в е |
алгебры |
одной и той |
ж е |
раз |
||||
мерности |
п называются |
подобными |
друг |
другу |
или |
||||
52