Файл: Кантор И.Л. Гиперкомплексные числа.pdf

зисных

элементов

обоих

алгебр;

например,

базисные

элементы

первой

алгебры

могут

быть

обозначены

С\, с2,

ст,

а

второй, — скажем,

d\,

d2,

сас$

dn. Тре­

буется

лишь,

чтобы

к а ж д о е произведение

разлага ­

лось

по си

с2, ...,

сп с

точно

такими

же

коэффициен­

тами,

ка к

и

произведение

dad$ по

du

d2,

dn.

Это

означает, что если,

например,

слс2

=

Зс, — 7съ,

то д о л ж н о

быть

т а к ж е

dud2

=

3di —

7d5.

В

математике

две

изоморфные

алгебры

не

счи­

таются

различными:

это — как

бы

два

различных

эк­

земпляра

одной

и

той

оюе алгебры.

В

связи

с

этим,

ищется в форме:

искомая

алгебра изоморфна либо та­

кой-то

конкретной

алгебре,

либо такой-то и т. д.

В

гл. 1 мы ввели

понятие

гиперкомплексной

систе­

мы, а

затем — более

широкое

понятие алгебры .

Соотно­

ма. Было показано ( § 7 ) , что л ю б а я

гиперкомплексная

система может рассматриваться ка к

алгебра, в которой

первый

из первоначальных

базисных

элементов яв­

ляется

единицей алгебры:

Ma — M i == 'а

Д л я всех

а.

мом деле, если

дана

алгебра с

единицей

1, то,

выбрав

в

ней

новый

базис

i\, h,

in так,

чтобы

было

* i =

l ,

мы

получим

таблицу

умножения,

в

которой

iiia

= ia.ii —ia

дл я

всех ос, т.

е. таблицу

умножения

в некоторой

гиперкомплексной

системе

Л.

Отсюда сле­

дует, что исходная алгебра изоморфна

гиперкомплексной

системе Ж.

•

В заключение приведем один пример, иллюстрирую­

щий

роль

понятия

изоморфизма .

Исходя

из

результа­

тов,

полученных

в

§ 2,

мы

можем

теперь

сказать, что

л ю б а я

алгебра

размерности

2, о б л а д а ю щ а я

единицей,

изоморфна

одной

из

трех

гиперкомплексных

систем:

комплексных, двойных

или дуальных чисел. Именно это

и

есть

перевод

на

точный язык того факта, который в

§

2

мы

в ы р а ж а л и

словами «любая

система

чисел а + Ы.

редь,

входит в

алгебру

октав

и т. п. В подобных слу­

чаях

вместо, слова

«часть»

употребляют

термин

«под­

алгебра».

О п р е д е л е н и е.' Множество 5я

элементов

алгебры

s4- называется

подалгеброй

алгебры

s&,

если:

\) . £Р является

подпространством

векторного

про-

s странства

s&\

2)

замкнуто относительно умножения

в а л г е б р е ^ / ,

т. е. если

а е & и

то аЬ е й 3 .

Первое требование равносильно (§ 10) тому,

что &

есть

множество

всех линейных комбинаций

&,а, -f- k2a2 +

. . . + kpdp

некоторых

векторов

аи

а2,

ар.

Последние

могут

быть

выбраны

линейно

независимыми, в

этом

случае

они составляют базис, подпространства SP

(и

число их

.не превышает

п).

Д л я того, чтобы

было выполнено

второе

требование,

фактически достаточно,

чтобы

всевозможные

произведе­

ния базисных

элементов

ааа^

(а, р

=

1, 2, . . . ,

р)

принадлежали

снова

т. е. чтобы

имели

место

равен­

ства

( а , Р = 1

Р).

ментами Я), а2,

а р

и таблицей

умножения

( I ) .

Приведем

несколько

примеров

подалгебр.

1.

В

алгебре

кватернионов

подалгеброй

является

подпространство

с

базисом

1,

/.

Более

общий

пример:

подпространство

с

базисом

1, я,

где

я — какой-либо ква­

тернион,

не

пропорциональный

1.

Л ю б а я т а к а я

подал­

гебра

изоморфна

алгебре

комплексных

чисел.

2. В алгебре октав подалгеброй является подпро­

странство с базисом 1, i,

Е,

I . Эта

подалгебра изоморф­

на алгебре кватернионов

(в указанном

базисе

таблица

пространство

с базисом

I , a,

b, ab, где а и b — любые

две

мнимые

единицы из первоначального базиса 1, i, j ,

k, Е,

I , J, К

алгебры

октав.

менты первых k строк (k

— фиксированное число)

равны

нулю: Более сложный пример: подпространство

«шах­

матных» матриц, т. е. матриц, у которых элементы

а^,

где

г' + / — нечетное число, равны нулю. Например,

при

/1 =

3 это будут матрицы

вида

*

0 , *

0

* 0

0

® 1

(X\i

х2>

• • •>

х п \

У[> Уъ

• • •> ilti)>

Ф 2

(хи

х2,

.. .,

хп;

у^, у2,

•. •,

уп)>

Фп(х\>

х2>

•••>

хп\

У\> Уъ

• • • >

Уп)

{х\ + х\+ . . . + ^ у * + у1+

. . .

+yl)

=

=

Ф? +

Ф 2 +

. . . - + Ф«.

(!)

построить в , г л а в е

I примеры

тождеств

(!) для п =

2,

л =

4 и

п =

8. Однако

там ничего не было сказано о

том,

как

строится

любое

тождество (!). Этим вопросом

мы

займемся

сейчас.

Г . Связь

тождества

(!)

с

некоторой

алгеброй - .5$.

П р е ж д е

всего

заметим,

что

с

к а ж д ы м тождеством

(!)

связана

некоторая

алгебра.

Эта алгебра

определяется

торное

пространство,

элементами

которого

являются

векторы

*1*1 +

*2*2 +

••• + * „ * „ .

(1)

Произведение любых двух элементов этого

пространства

и

х =

xiii

+ x2i2

+ . . .

+

xnin

y =

tJ\i\

+

Uih

+

•••

+yJn

определяем

формулой

xy

=

ф,«, +

Ф2 £2 + . . .

+ ф „ * я .

(2)

Ввиду «линейности»

форм

Ф ь

Ф 2 ,

Ф п

по

перемен­

ным Х\, х2,

хп,

а т а к ж е

по переменным уи

у2

уч

ясно, что

выполняется к а ж д о е

из

написанных

ниже

ра­

венств:

kx-y

=

k (ху),

х

• ky

=

k

(xy),

(*i

+

x2)

у =

xxy

+

x2y,

x (y{

+

y2)

=

xyx

+

xy2.

Отсюда следует, что закон умножения

(2) . дейстритель-

но определяет

некоторую

алгебру

(см. 7° § 7).

Обозна ­

чим эту

алгебру

К а к

следует

из

сказанного выше,

алгебра зФ полностью определена, как только

задано

тождество

(!).

s&. Посмотрим,

2°. Нормированность

алгебры

какому

свойству

алгебры

соответствует

тот

факт,

что

Ф ь Ф2,

Фп

—

не

просто

какие-то

формы

второй

степени,

а

такие,"

для

которых справедливо тожде­

ство

(!).

зФ скалярное

С

этой

целью

зададим

в

алгебре

- р о -

изведение

(х,у),

определив

его

через

координаты

век­

торов

х

и у

в базисе

/ ь i2,

• • •, in-

(X, у)

=

Xyljy +

Х2У2 +

• • •

+

хпуа.

(3)

В частности,

{х,х)

= х\ + х\

+ . . .

+ 4 .

(*а. » а ) . =

1.

(*а>

if)=0

при всех

а, Р =

1,

. . . . п,

а ф

р.

Д л я

пояснения

этих

равенств

заметим,

что. у

вектора

ia отлична от

нуля

только а-я

координата (она р а в н а . 1 ) ,

а у вектора

ip —

только р-я.

зФ определено скалярное про­

Теперь,

когда

в

алгебре

Выражение, стоящее в правой части тождества,

как

нетрудно заметить,

равно

(ху,ху)

— «скалярному

квад­

рату»

элемента

ху;

левая

ж е часть представляет

собой

произведение

двух

«скалярных

квадратов»: (х,

х) и

(у,у).

Поэтому

вместо

(!)

можно

записать

{ху,

ху)

=

{х, х)

{у,

у).

(4)

\ху\ = \х\\у\

(4')

(норма произведения равна произведению норм) .

Примем теперь следующее

О п р е д е л е н и е .

Алгебра s&

называется

нормиро­

ванной, если в ней

можно ввести

скалярное

произведе-

4 И. Л. Кантор, А. С. Солодовников

97