Файл: Петрова С.Г. Обыкновенные дифференциальные уравнения учеб. пособие.pdf

.

-45-

Итак, для

нахождения

всех решений уравнения

П- -то

порядка ( I ) достаточно найти все решения уравнения

(п-')-то

порядка ( 2 ) ,

а

затем - все

решения

уравнения первого порядка

( 4 ) .

Такой

прием приводит

нас к решению уравнений

более

н и ­

кого порядка, чем данное, я потому называется методом пони­

жения

порядка.

В частном

случае при

h~Z

, уравнение ( I )

имеет

вид

о,

(6)

а уравнение

(2)

оказывается

уравнением первого

порядка

О,

(*)

уравнение же

(4)

принимает

вид

'Р(*,Ї'>СІ)--о.

(Ь)

порядка

(б)

достаточно

найти

все

решения

^

(*> г

j

^ J = О

уравнения первого

порядка

( 7 ) , а

ватем найти

все

решения

^ХКІ

ЦІCl>

)zO уравнения первого порядка

( 8 ) .

Пример.

х(у')*

=

0.

Полагая

у '

г ?

,

получим

уравнение

2 '+ х

г* -

О. .

Отсюда

ЗІ*

+ хсЛу

= Оу

Тогда

для нахождения

у

имеем уравнение

откуда решение исходного

уравнения получаем в виде

Рассмотрим теперь уравнение второго порядка

не содержащее явно независимой переменной

X • , Предположим,

что

У-¥(*) есть решение

уравненяя (9) в

интервале

§ 3 . Линейное уравнение

/L-го порядка. Задача

Коши.

Рассмотрим

уравнение

у("К

*,ґ*) / r"~°+ a* fa j

r"'Ji

• • • І-

(*>y'+ a* /*V

= H*), ('J

где

функции

О, (x)j

Q4 (х>y. v

a*„(x)

и

-ffx)

определены

и

непре-.

рнвны в

:некоторои[

интервале

&) ", Уравнение

(1)

содержит

искомую функцию

у

и все

ее

производные

в первой

степени

и потому называется линейным дифференциальным уравнением

л - г о

порядка. Если

f(x)'i

о

в

faity

,

то

уравнение

( I )

называется

неоднородным.

В случае

о

в

{а-,^)

уравнение

у>+

А, (г)у"^

• • •

*

я..,

'+

r*j у •-• о

ff°)

нагывается однородным, соответствующим неоднородному уравне­

нию ( I ) .

Задача Коши для уравнения

(1)

заключается в

отыскании

на

(^4)

решения уравнения

( I ) ,

удовлетворяющего

следующим

начальным условиям:

уст.)-?.',

. .

,

у

"

" У - ) - * г " " > ,

С*)

где Х9е(&,€),

а

у0)

у/}

• • • j

$ ° C U

I )

" в а Д а

н н ы е

числа.

Ив общей теоремы 2 §1 о существовании единственного

р е -

ненил задачи Коши для уравнения

/ь-го

порядка

легко

следует

Теорема

\ .

Для

любых

чисел

Л, є

(ъ,

О ,

. .. J

у/*"3

в интервале

fa,j

6)

существует

единственное

решение

уравне­

ния

(1),

удовлетворяющее условиям

( 2 ) .

Действительно, записывая уравнение ( 1 ) в виде

убеждаемся в том, что правая часть

уравнения (8)

непрерывна

вместе со своими

частными

проивводными первого

порядка

по

у у'^

уґ*~')

в

области

Я>

,

координаты

точек

которой

fx^y

у j

.^у'"~')

удовлетворяют

неравенствам