Файл: Петрова С.Г. Обыкновенные дифференциальные уравнения учеб. пособие.pdf

а<х<6, - с ^ < ^ « ^ .

л _

»

о

- ^ ^ . . .

ге~«д'*"'ла>^

^

ибо

частные проиеводные

по

у , У,

• • • уґ"~°

от правой

части

(3)

равны соответственно

-

, - <?„.,

...

,

-

/ * ) .

Следовательно, для уравнения

(3)

в области

выполняются

все условия теоремы 2 §1 , откуда

и следует

справедливость

на­

шего

утверждения.

Как следствие

иа

теоремы

1

получается

Теорема 2. В интервале

единственным решением

одно­

родного уравнения ( U , удовлетворяющим нулевым начальным усло­

виям

является нулевое

(:тривиальнов|)

решение

jf(x)

г

оj

X є

Са> 6).

Действительно,

очевидно,

что функция

]f(x) = о

является

решением уравнения

( 1 в ) ,

удовлетворяющим

условиям

( 5 ) ,

но,

в

силу теоремы 1, других решений уравнения ( U ) / удовлетворяющих

условиям 15), не

существует.

$4. .Линейные (однородныег

уравнения

-то

порядка.

I . Простейшие свойства решений линейного однородного уравне­

ния

л--го порядка.

Обоавачим левую часть уравнений (1) или (1„> череа

L.£jfJ:

Lltf*?'*'***(x)f:nta..,'+

л»'*)/.

(,)

Каждой функции

у(х)

,

имеющей в некотором интервале

(а-,*)

пронаводнив до

ги -го

порядке

включительно;

формула

(1)

сопоставлевиг некоторую функцию,

определенную

на

4)

,

которую мшабовначим череа

LtjfJ

• Выражение

LfyJ

будем

Лемме*» Для любых функций

у,/*) в

,

имеющих в ин-

TepBaxe^e-jV) проиеводные до

п- - го порядка

включительно,

• любых

постоянных

Сі и

Ct справедливо равенство

I

ГС У,+ слул]

= с,

Lcyj+Q

LCfc].

(*)

Действительно,

в силу известных

свойств

проиаводных,

I

Ес>1

*

= (с

у , * G y t f *

*,(*) (су,*

с

.

•f

<?.-,'

to / С ^

* <г # J V

4* (*)

(С, У'"

? гJ

-

Легко

видеть,

что дока ванная леїша распространяется на любое

конечное число

слагаемых,

т . е .

/ Гс,

У'* С # •'••••» &У*]= С U$J+

Ct LEp] +

CllfrJQ

Из докаванной леммы сраву следует

Теорема

I . Если

ft (х),

• -

)

- некоторые

реше­

ния

однородного уравнения

то

при любых

постоянннхг

C,t Ctj

... С*. сумма e,*f,+ • •• +

также будет ревением уравнения (4) .

Действительно,

на основании

условия теоремы, для

любогоxtfaf

Тогда

в силу

формулы

(8)

т . е .

функция

if - с, у, + • • • + C^y^ обращает

в тождество

левую

часть

уравнения ( 8 ) , что и завершает

доказательство теоремы.

Пусть функции

%_fx)-y fh/xj

определены в н е к о т о - -

ром интервале

-.

Опрёделенне. функции' %(*),

%(г),...

на вывеются

яянейно еависиными

в интервале

(а,

4)

, если

ісуществуат1.

постоянные

С, Сі,

• С„

,

не все равные

нулю,

для которых

тождественно' в интервале

выполняется

равенство

С WvCj

'&'{*)

+ ••• * C»*f*(x)

в О

(і)

В том случае, когда

тождество

( I ) для

х£

вовиожно дашь

если' С, = Сг = • • •3 с '" g

°

,

функции

У, fa, Ъ(х)а-

тУ*)насыааюгсл

линейно независимыми в укаванном интервале.

Примеры;

1. Функции

у, = &*1х

,

^ . - ш 5 г ,

у3-j

линейно зависимы на

всей вещественной оси - *=~><х*

'

,

ибо для любого X

что можно записать в виде

/ . j , * V v

l.c+i'**(-!)!

=

О-.

2. функция

х

*

линейно

не еавис имы в любом

интервале

а-* дг * ^.

Чтобы убедиться в атом, достаточно

рассмотреть тождество

С,-£ + С,х + С±ж2•» • • ••* ся-

* — о

Он

3. Легко видеть, что если функция

у-/^*)

т тжотором ивтер- ,

вале

(ь,

4)

не обращается в нуль,

то (Ьункцви

ytxj^

x<f(*),

*У*і..

jX"У(*ї

вв указанном внтервале

ланеяво

неааввсамы.

Дейехвясеяьво,

тождество

ft УМ * eiJfyfq *GJrljfirj *

-fC„J(

. « О ,

Xf

4)

при

усаовваг

уґх)+о

акваваяентво тождеству

(2), яв которого,

как мы в«деяя> следует, что С.*С,=

*

C=cJ, я ато равно-

сальво навсму

утверждена».

Сформулируем теперь

ряд

легко

устанавливаемых

предложена!:

1.

Функции

¥» (*)

линейно вависаыы

на

проме­

жутке

в том

и только

в

том случае,

когда хотя

бы

одну

из них можно представить как линейную комбинацию остальных.

(Линейной

комбинацией функций

¥,(х),

Й

•

называют функ­

цию вида

C,%L*)-i Q&Cxj-t---

*

Сн%(х)

•' ,

где

Сн -постоян­

ные).

,

Действительно^ пусть например в каждой точке

'с,

¥,(*)+<и¥лЩ + :--* с ,

r - . / ' J .

Переписав

это

тождество в виде

с, <f,(*)+ Qкм*

• • • + с«.. %-, (*)+ ("}

**) -- о,

заключаем, что функции

4,(*-)j

• • •

¥» (х)

линейно зави*

симы на

интервале

°- *•х

'

.

Предположим

теперь,

что

4,(x)J4t(x)j

-

•

¥*(*)

линейно

зависимы

на

( C L )

$ )

• Тогда

существуют

числа С,гСг>...

с н г

не

все

равные нулю и такие,

что

на

промежутке

в< х<

£

~

С,Чі(*)+Са

* С* ¥*{*J

~

О. .

Пусть,

например,

Ск-Ф&

* тогда ив последнего тождества

найдем

—

—

р

Этим завершается

докааательство

нашего

утверждения

2.

Две

функции

ТУ*) И

Ча.(х)

линейно

вависимы в интервале

.

4)

тогда

и только

тогда,

когда

их отношение

пос-

тоянно,

т . е .

Лр—'- = С

Это есть непосредственное следствие предыдущего утверж­

дения.

3. Если хотя бы одна не

функций

4J*),

• ••

V* / *J

на

некотором

промежутке

(&> 6)

тождественно

ревиа

нулю,

то

такие функции

линейно вависимы

на

(а,,

О