Файл: Петрова С.Г. Обыкновенные дифференциальные уравнения учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 01.08.2024
Просмотров: 261
Скачиваний: 1
( 3 ) , то согласно доказанной теореме, все решения уравнения (2) записываются в виде.
Если же совокупность решений уравнения (8) дается соотношением вида •
|
|
Р,с) |
= ог |
|
(ГУ |
то совокупность решений уравнения (2) записывается неявно в |
|||||
виде |
уравнений |
|
|
|
|
|
^= |
j |
0 0 (у> Р' с ) = ° • |
|
(V |
Если |
иа. уравнений (б) |
можно исключить :• параметр, |
р |
, то |
|
совокупность решений |
уравнения (2) запишется; в |
виде |
\ |
||
Наконец, если уравнение (5) однозначно раврешимо относительно х
то решения уравнения (2) записываются в параметрической форме
|
|
|
•X = Ч(Р Ч |
) |
; • |
|
|
|
|
Указанный |
прием интегрирования |
уравнений |
видя |
(2) нави |
|
вается |
методом |
введения параметра. |
|
|
|
||
Для |
применения |
его на практике надо в |
уравнении |
(2) |
положить |
||
У'- |
Р |
и, получив равенство |
^ = - У Л і / У ^ для нахождения |
||||
вспомогательного уравнения (3) продифференцировать гто равен
ство по |
X |
, заменяя |
вновь |
*ff |
н а . / ? |
|
|
|
Пример |
у^. |
|
|
|
полагаем |
/=» |
|
.тогда |
и |
о* |
^ |
Дифференцируя вто равенство |
по |
X t |
|||
найдем вспомогательное уравнение вида ( 8 ) :
Или |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
Таким обра80uy вспомогательное уравнение |
(7) |
эквивалентно |
|||||||||||
двум уравнениям |
|
|
|
|
я |
|
|
|
|
|
|||
Интегрируя первое ив них, найдем, что |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
&//-/- |
Л + С9/ |
р = |
СЄ* |
|
|
|
|
С?) |
|||
Ив второго |
(не |
дифференциального) |
уравнения найдем, |
что |
|||||||||
|
|
|
р*«Є* |
, |
|
|
|
|
|
|
|
(9) |
|
Решению |
(8) ;уравнения| |
(7) соответствует |
однопараметрическое |
||||||||||
семейство |
решений |
исходного уравнения вида |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
у=Сеж*^ |
|
|
|
|
^ |
0°) |
||
а |
решению |
{9) |
зуравнвния^ (?) |
|
соответствует |
дополнительно |
|||||||
к |
(10) |
|
решение |
вида |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
у = |
±fe* |
|
± fP= |
* |
л |
^ |
ч |
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечание. |
|
Уравнения |
вида |
|
|
|
|
|
||||
приводятся |
ж рассмотренному |
в |
предыдущем |
случае, если |
^ |
||||||||
считать |
йа независимую |
переменную а |
|
X |
-ва искомую |
функ |
|||||||
цию И положить |
|
ь'= |
"J-jr-- |
. |
Тогда |
|
(11) |
|
|||||
|
|
|
|
|
с/ |
Xj |
|
|
|
|
|
|
|
примет |
вид |
|
|
|
|
|
Полагая |
X y - ^ j " |
и дифференцируя |
равенство |
ХЇ |
^ ) |
по ^. , |
получим |
вспомогательное уравнение |
вида |
|
|
|
|
Ыожно^однако,не |
вводить новый |
параметр |
£ |
и не |
польаоватсл |
|
уравнением (12). Действительно, так как |
|
|
||||
|
|
|
|
... |
%-*%*Рия> |
|
|
|
<»> |
|||
то, |
подставлял |
в уравнение |
(12) |
значения |
и flg, |
иа |
||||||
(18) |
и |
(14) и учитывая (15),.перепишем (12) в виде |
|
|||||||||
|
|
|
|
УГУ* |
|
V |
|
|
|
° £ ) |
||
Последним уравнением и можно заменить |
вспомогательное |
уравнение |
||||||||||
нение |
(12). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Важным частным случаем уравнения (2) является уравнение |
|||||||||||
Лагранда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где |
|
Hi У') |
к |
У |
(У') |
- |
некоторые |
дифференцируемые |
функции. |
|||
Применяя к (I?) метод введения параметра |
получим |
|||||||||||
Дифференцируя |
это |
соотношение |
по |
х |
, найдем, что вспомо- |
|||||||
гательное уравнение (3) в |
этом |
случае |
имеет |
вид |
|
|||||||
|
|
р |
|
= |
+{х |
|
Г(Р) |
+ |
|
й г |
|
|
|
f(pj |
-p |
+ £ |
xrcpj |
'+• |
4- '(P)J in |
= |
0 |
|
|||||
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f W |
- / ° J ^ * Ex |
r [ p ) + |
4 , 1 |
|
= |
°- |
|
(n> |
|||||
Исключим сначала ив рассмотрения |
те |
значения |
|
р~ |
Рк |
,для |
||||||||
которых |
Ч(Р)-Р=0-. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Тогда |
Р |
Ч о |
, |
|
и U 8 ) |
можно переписать в виде |
||||||||
|
|
|
<*Р |
W)- |
р |
|
р- |
|
|
|
|
|
||
Принимая в атом уравнении |
р |
эа |
независимую |
переменную, |
а |
|||||||||
X |
- аа функцию |
от |
/ ° |
, |
мы видим, |
что |
(19) |
представляет |
||||||
собой линейное уравнение первого порядка, решение которого, |
||||||||||||||
как |
иввестно, имеет |
вид . |
|
|
|
, |
„ |
, |
/ |
|
° ^ |
7 |
||
В силу дожеванной выше теоремы, решению (20) уравнения (18) соответствует решение уравнения Лагранжа (17) следующего
вида (в параметрической форме) Ґ £J2L
( £±£L-clF
|
у |
с |
x vfpj |
+ |
4-(pJ. |
|
|
|
Пусть теперь |
|
^o.=/і — вещественный |
корень |
уравнения |
||||
%{СР)~РЖ°- |
|
Тогда функция р |
- Рк |
будет |
решением |
|||
уравненияL |
(18), |
|
которому |
.будет |
соответствовать |
дополни |
||
тельное решение уравнения |
Лагранжа |
вида |
|
|
||||
|
^ |
с |
XVCPMJ+H'CPKI |
|
|
|||
представляющее собой некоторую прямую.
