Файл: Петрова С.Г. Обыкновенные дифференциальные уравнения учеб. пособие.pdf

В сшлу теоремы I

данного

параграфа функция £/(х)есгъ

решение

однородного

уравнения, (б)

, а так как f / " 3 . . .

- решение

системы (7),

то

ии (7) находим, что

Следовательно,

функция

у СУ) представляет

собой

решение

однородного

уравнения

(6),

удовлетворяющее

в точке

-Ус

шужевым начальным

условиям.

Тогда

я силу

теоремы 2 §

3,

у(х)

=

О.

Таким

обрааом,

если

W

l

V

,

t

o

)

,

-

О

,

то

С,"

У, (*) *

С/'>

у,

(х)+

• • • -

С„'Уг

I»)

=

О

в

(л,

причем не

все

С / °

(С

••• *)

равны нулю. Отсюда

вытекает,

что

функции

у,-(*\,№)у-^

$н(.х)

линейно вависимы в ( Л , * ) ,

что противоречат нашему предположению о фундаментальности

системы решений

it-(X)j

- • -. У»

(•*)•

Теорема

2

полностью

докаваша.

8. Структура общего решения линейного однородного

уравнения

Л - г о порядка

Теорема

8.

Если

У((х)1

Уг.(*),

• ••

Сх) —~

фундамен­

тальная система

решений

лине>ного

однородного уравнения

то оваее

решение

уравненвя

(

/ о )

имеет

вид

•

+

(*)*•

• * С» у*

Lx),

С*)

где

С,

Ctj . . .

С у,

-

проаввольвые

постоянные.

Для дожааательствв

гёорюш'

вадо

покааать,что

функция(2)

удовжетворяет

всем требованиям

определенвя

4 §

I

«той

главы

В ешжу теоремы 2

I

8,

функция

(2)

при любых

Ct)

Ci}

. -.

Ch

Воаьмем

любое

частное

решение

%~

уравнения

{Q,

удов­

летворяющее

в

некоторой

точке

у 0

е-

f ) следующим

началь­

ный условиям:

Рассмотрим

теперь

систему

/2-

линейных

уравнений с

К.

неиевестными

C/j

с * , . . .

Сн

С,

Ц, С » )

* Cj ^

(jf.)r

•

С»у„

СУ.) =

С, Ч,'0Ц t

CA

fc'Cy.J

С

^

(J4) =

)

M

C,?%+

fZ'J

=

fo"'

В силу того

что

у, (*),

- ^ ^ ф у н д а м е н т а л ь н а я

система реше­

ний уравнения (U), определитель системы (4)

Поэтому'

система

(4)

имеет

единственное

решение

Ч - Ч J Qi - Чг . j • - • j , c» - 4 , .

При атом функция

у (к) = С/'1

у,

(*)+ -

••

С*)

будет решением

уравнения

( I d ,

удовлетворяющим начальным

условиям

( 3 ) . Но в салу

теоремы

1 і 8,

существует

единственное

решение уравнения ( I ) , удовлетворяющее указанным условиям

следовательно,

Таким образом^ функция

( г ) ,

согласно

определению

4 и» S I

,

является

общим решением

уравнения

( 1 В ) .

Теорема

3

доказана.

Следствие. Линейное

однородное уравнение л, - г о порядка

не может

иметь

более

чем

л.

линейно

независимых

режений.

Предположим,

напротив,

что для уравнения

(!„)

на

про­

межутке (<*-, ^ )

существует

{ n-t-i )

линейно независимых

реше­

ний

#г(*)}

• • j

yjx)^,^).в

С И Л У

того»

что любые

к.

ив

них,

например,

у,(*)>

у^Ы\ •••

У* Iх)

также

линейно

невавн-

симы на

{^Л),

эти п. функции. образуют

фундаментальную

систе-

—

*

му решений. Поэтому, согласно теореме 3,

найдутся такие

посто­

янные

С,ІСІ>

. •.

Сн

,

что

для

любого .

х

f

ft

<>) будет

(*)

=

С, У, C*)-t

Q

t • •

- -t

С*

у*

откуда

следует,

что

функции

Уг/*}_, • •; / * ^ Д / ^ л и н е и

н 0

зави ­

симы

на

i&j

^)

)

в

про/>и*£о^ил.і*»ч

jyeg/fou^r?t*u<^b>.

Теорема

4» Любое

уравнение

( | р )

имеет

фундаментальную

сис -

тему

решений,

Действительно,

рассмотрим

tt

произвольных

чисел

•

и

ц '

и (*•>)

для которых

=jfc- О

(у)

Рассмотрим

теперь

К-

решений

уравнения

(1 0 )

fa^h-••

%ч ^

удовлетворяющих

в точке

Jfo€- f^j

<0 следующим начальным

условиям:

Существование (и даже единственность) таких решений

следует

ив теоремы I . § S . Так как в

силу (5)

\/V£у,Сх<>)у

•• tf» (f-)]-

& =f °j

то на основании леммы пункта 2 этого

параграфа,

заключаем,

что

функции У, fr), Уіі'у)/ •• Упі")

линейно

независимы

на

/д . ,