Файл: Петрова С.Г. Обыкновенные дифференциальные уравнения учеб. пособие.pdf

Скачать файл (3,45Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 01.08.2024

Просмотров: 265

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.


Рассмотраы		теперь	уравнение (17) в частной случае
=	,тогда оно		имеет		вид
и называется уравнением				Клеро,
Метод введения		параметра		для уравнения (21) дает '
		J=.	хр		-/• V<?JJ

и вспомогательное уравнение (3) в втом случае принимает вид

Отсюда
JC + *'(PJ=0.	fry
Из уравнения (23) получаем решение уравнения (22)	р3 -

которому соответствует однопараыетрическое семейство ревенів

уравнения Клеро (21) вида

представляющее собой семейство прямых и называемое общим решением уравнения Клеро.

Из уравнения (24) находим решение уравнения (22) вид*

которому соответствует дополнительное решение уравн&яил Клеро (21), записываемое в параметрической форме,

у - _ рч-

)

и навиваемое особым решением уравнения Клеро.

	Можно докввать,	что в каждой	точке кривой (26)		касатель
ной к ней является одна ив прямых,			входящих в	семейство		(25),
в СВЯ8И с чем кривую		(26) называют	огибающей	семейства		прямых •
(25).
^Пример,		Положим
Тогда	у=хр + р^г	Дифференцируя, найдем,что р			*	р+0*гЛр]<Ц

Следовательно,общее решение нашего уравнения имеет вад

у*. Сх + С*

а особое решение записывается в параметрической форме

или в явном виде

Глава	М_. іУравненияІ высших порядков .
5	. Вопросы существования решений. Классификация решений.

В ето* главе мы изучим Дйффервнциальннеї ;уравненияі' порядка П- для / L * 2 4 Как известно, такое уравнение в самом общем случае можно"-еаписать в виде

где функция F1	определена	в некоторой области	2)
- мерного пространства.Будем считать,что уравнение			(1) одноа-
начно рааревимо	относительно	-j/*1 и может быть записано
в виде

где

функция

задана

какой-то

области

мерного

пространства.

Для уравнения

(2)

рассмотрим

следую

щую эадачу Коши: найти в

некотором

интервале ( #о 6)

решение

jf(x)

уравнения

(2)

которое

точке

Ус Є- (л/£)

вместе

со

своими

производными

до

(

п'1

) - го порядка, принимает

в е

данные

аначения

'^о>

y0j

yJ"'*

, т . е . удовлетворяет

следующим (так называемым начальным) условиям.'

№

"""м-("~°

(*>

Очевидно, что вопрос

Существовании

решений уравнения

( 2 ) ,

удовлетворяющих

условиям ( 3 ) , гависит

от

свойств

функции

УС *•> У>

• • > f""'}

Справедлива

следующая.

Теорема

I .

Если

функции

^{У,

У^,

. • -^гЬ.,) непрерывна

(как

функция

точки

М(*>¥л*>,•

), в

области

,то

для

любых чисел

^ уо(м~°

для

которых

точка

о I х °, У; Уо, • • -j Ус"""J

€

® ,

существует

решение уравнения

(2)> удовлетворяющее

начальным условиям

( 3 ) .

Для практики интересно укавать условия, при соблюдении

Которых существует единственное решение уравнения (2),

удов

летворяющее условиям ( 3 ) . Имеет место

Теорема

Если

функция

непрерывна в

области

вместе

со своими

частными

производными

види Щt

;»jj^<K>j*o.

для

любых чисел

ytj

у/^

... ?

у / " " \

для которых

точка

' %MJ(to, y*j у/,..

.j yf"'"J

•?SC,

существует

единственное

ране

ние уравнения ( 2 ) , удовлетворяющее условиям (8).

•

Теоремы

мы в

нвием

курсе

на

доказываем.

Пусть функция

g-ffr)-некоторое

рененне уравнения

(2)

в интервале

Определение

Решение

y=Y/frjуравнения

(2)

будем

называть

его

частным решением,

если на

интегральной

кривой

У~ f(x)

найдется

по

крайней

мере

одна

точка

tMa(j(o>

^некоторой! окрестности

которой

данное

решение

у=-

Ч'Сх)

Судет

единственным решением, проходящим

черев

точку

и/<> и

удовлетворяющим условиям ${*°)-- Щі,

/ґу-)=УЩ-Ч("іг,)

Определение

Решение

if ^

<(ґх)

уравнения

(2)

будем,

называть

его

особым решением,

если

любой

окрестнос

ти

каждой

точки

USo

ff/'l)

лежащей

на

кривой

у » f(x),

найдется

решение

^УСх)

уравнения

( 2 ) ,

проходящее

черев

точку

<Мс ,

отличное

от рассматриваемого

решения

У(Х)

и удовлетворяющее

тем

же начальным

условиям

Уїв данных определений

следует,

что

любое

решение

урав

нения (2) будет либо частным, либо особым его решением.

Очевидноj что если в некоторой области

$£>

для

уравнения

(2)

выполняются

условия теоремы

I 2 f

единственности

решения, •

то

любое

решение

уравнения

(2),

лежащее

області

§S

будет

его

частным

решением.

Определение

Точку

еМо

fajfr),

лежащую' на

интег

ральной

кривой

у =

<f(x)

уравнения

(2),

будем навы-

вать точкой

единственности

решения

если

в некоторой

окрестности точки

iM*> это

решение

у =

ff*J

является

единственным

решением

уравнения

( 2 ) , проходящим

черев точку tM, и

удовлетворяющимусловиям

- а д -

Определение 4 .

Функцию

у=

6 0 ( Х , СУ

Ctj ...

C t t )

f>f)

будем называть общим решением

уравнения

( 2 ) ,

если

для нее

выполняются

следующие

два

условия;

I )

при

любых

значениях

параметров

С/, CZj .. .

Cj,

(при которых

функция

(4)

определена)

функция

(4)

удовлетворяет

уравнению

(2)

и 2)

всякое

частное

решение

у=

^ у р а в н е н и я

(2) в

некоторой

окрестности

любой

своей

точки

единственности Uio(X°,$>)представимо

виде

функ

ции

ivfcC';-"

Си) единственным

образом,

т . е . может

быть

8ВПИ-

сана

виде

(4) при определенных значениях параметров

cf)...tCM.

Так же, как и в случае уравнения

первого

порядка,

нетруд

но убедиться

в том, что при выполнении первого условия

опре

деления

А-

его второе условие зквивалентно следующему;

с Рв Д»

решений

системы уравнений

СО

(Х.,С,СЧ..

ииеется_ единственное решение С-С*іСс'Сі,..-,Сн-С!,			» * л я которого
в некоторой окрестности ТОЧКИ	кМ0		С^с~
n x ) £ 0 o ( x J c ; j	c / j . . .	с*).

Вдальнейшем мы рассмотрим такие классы уравнений, реше ния которых можно найти аффективно. Особый интерес будут представлять уравнения, решения которых суть елементарній функция.

Вследующем параграфе будут рассмотрены уравнения, интег рирование которых тем или иным путем можно свести к интегри рованию некоторых уравнений первого порядка.

§2, Уравнения, допускающие понижение порядка.

Рассмотрим

уравнение

п- -го порядка

не содержащее явно искомой функции.

Пусть

решение

уравнения

( I ) . " Тогда

Z-^/h)

будет

решением

уравнения

ибо

г '

^ . . .

Допустим,

нам иввестно,

что совокупность

всех

решений

урав

нения (2) записывается в виде

Рассмотрим

уравнение

первого

порядка

,=Р(жлу'3С;,.

-С „.,_)•-

О,

{Ч)

и пусть

все его решения

представиш

виде

Ив наших рассуждений

следует,

что решение

у~

ft*)

уравнения

( I ) удовлетворяет соотношению

(5) при некоторых

аначениях

параметров

С, Ctj . ..

С„

. Покажем,

что и наоборот,

любая

/t,-pa8 дифференцируемая функция

у-

f(x)

определяемая

соотношением

(5)

при некоторых

вначениях

параметров

^ О , . , Си,

будет

решением уравнения

Ш » /:

Действительно, "Jr У' \ t\

или ^'»у'('^ обращает

в тождество равен

ство (3)

/ или (Ч)/

при тех же значениях

параметров С,,Сг,-

(так

как

WX) есть

решение

уравнения

(4) ) . Но любая

функ

ция

%•(*) (в

частности

-2=4"fr)

) ,

определяемая

соотношением

(8)

при некоторых

вначениях

С',?г,.-.

есть решение

дифференциального уравнения ( 2 ) . Отсюда следует,

что

у-У^*)

обращает

тождество

уравнение

( I ) .

Смотрите также файлы

Постникова Л.П. Тауберова теория с приложениями к аналитической теории чисел учеб. пособие.pdf

Проявление горного давления при применении механизированных крепей..pdf

Радчик А.С. Пружины и рессоры.pdf

Рамазанов М.Д. Лекции по теории приближенного интегрирования.pdf

Рогожин В.С. Теория операторов Нетера [учеб. пособие].pdf

Файл: Петрова С.Г. Обыкновенные дифференциальные уравнения учеб. пособие.pdf

Смотрите также файлы

Информация

Списки файлов

Дополнительно