Файл: Петрова С.Г. Обыкновенные дифференциальные уравнения учеб. пособие.pdf

-5 Si­

tae

дова тельно,

функции

fa

(*),-• •/» (*) составляют фундамен­

тальную систему

решений уравнения

П„').

§5. Линейные

неоднородные

уравнения

tv-vo

порядка.

I .

Структура

общего

решения

линейного.неоднородного

уравнения

Л, - го

порядка.

Вернемся к рассмотрению! линейного неоднородного дифферен­

циального

уравнения

Теорема

I .

Если

yjxl

ft/W,

• • • if*(х)

есть фун-

даментальная система решений однородного уравнения,

соответ­

ствующего

неоднородному

уравнению

а

У(х)

- некоторое

частное решение уравнения ( 1 ) , то функция

где

Ct) Cj}...

d,

-

произвольные постоянные,

будет общим

рияением уравнения

( I ) .

Действительно, по условию теоремы;

Тогда* в силу известного свойства

оператора

L

Су]

,

откуда следует, что функция (2) представляет

собой

некоторое

решение уравнения

(1).

Пусть

теперь

у = у-{х} есть некоторое

частное

ревевве

уравнения

( I ) . В точке

У -

х~«

оно удовлетворяет

следую­

щим начальным

условиям:

№

-

У

м

*

+

.

•.

*

"Ж).

с*)

Рассмотрим

систему

Ц, линейных уравнений с

h, неиэвест-

ными С,} Ся>

.. Сп.

вида

С, і(х*)

+ Сл"(*.)+•• • +С» fa (У.)к

*(*<>) - ч-(х°)

)

Так как Ц,(х),

fa(x)y

- фундаментальная

система

решени!

однородного уравнения

a, txj у

а„.,

(у)у'+

-

oj

то

определитель системы

уравнение

(4)

и

система

(4)

имеет единственное

решение

Рассмотрим

функцию

'

„ - ••

Их)

в С,е%Г*)+с/'>£(*)+-

• • •+ c/01faf*J+

Wxjj

что

і

аавермет докавательство

нашей теоремы.

Докажем теперь одно предложение , очень полевное для

практического

решения неоднородных

линейных

уравнений.

4 '

Теорема

8. Если

у

= «/J/V)

-

реве ниє неоднородного

урав -

шания

( | )

с

правой частью

Я*)

s

A

^ J

. а

у *

решение

того же уравнения

с

правой

частью

4(х)

=

, 4

то

Функция

у

=• *f» fx)

*

fj. fx)

будет решением

неоднородного

уравнения <|)

е правой

частью

J(x)

= ~f, (у) ^

/л(х)

L[W>].S

/,(*) , L

[Ъ(*>]

Отсюда ,

•L [ % Ь)+& с*,] =и*

(*>]

С*>2 = Уw * j -# & Ч

что и требовалось докаеать.

квадратур.

' '

Пусть

</, (x)J

fa (у j . .

и (х)

фундаментальная

система решений

однородного уравнения

Lli'J-if

••"'У

+••••>&.$= Ot

соответствующего уравнению ( I ) .

Будем искать частное решение неоднородного уравнения

(1) в

вяде

% *С1(*)у1(х)+Сл(х)ул(*)+--•

*С(х)у„(*)

}

.

/у}

где функции

С,(x)i Ci(x)j

C„tx) надо

подобрать так,

чтобы

функция (5)

удовлетворяла

уравнению ( I ) .

нахождения

к.

неизвестных

функций

С

•

• С (*) получатся

только

одно

условие,

поэтому

мы можем

дополнительно

наложить

на эти

функции

еще

н-і

условий,

выбирая

их по

своему

и в качестве

первого

дополнительного условия

потребуем,

чтобы

c;tx}у,(х)і

сл'(Х}у,їх)

+

і*)

--

о.

а

Тогда

У '=

С, (х) у,'(к)

і Сг rxj у/Ґх-J

(х)У»'

'*) .

//J

Дифференцируя ( 7 ) , найдем, что

f'Yxj

с, fx) у;fx

и

- i c h

, с, 'otf'H

Ь'Щ'А);

и в качестве второго условия потребуем, чтобы

е'і*)у:с»)+сл'с*)№(*)

+ •••

•>

с;(*)у*(*і-••

о.

( £ j .

Тогда

У "(х j

= С, (х) у, "Cxj і

Сл Crj y / f

< С»

.

< 3)

Действуя дальше

вполне аналогично,

мы найдем

для определения

С, (*>j Сл(*),

... Си(")

условия

/

С.ч*%> у, "(*) •* Cj '('J І*<*>*

• •

-> С»'*' У»'Ы=о

}

. . .

-

-

( (>°)

ж для производных

порядков

...

, я - і

функции (5)

получим

следующие

выражения:

у-ь)=с,(хгуГ(*)+-~

-* с*

)

•

'

'

у

( " )

Дифференцируя

последнее

тождество

ив ( I I ) , подучим

Последнее

условие,

налагаемое

на функции

С,(х)1 О h)y.v

ch//j

получим из требования, чтобы

функция (5) обращала

уравнение

( I )

» тождество. Подставляя выражение для jf(*>j У'*"),

•• уҐМ>

'*J

ив формул

( 5 ) , ( 7 ) , ( 9 ) , (11) и (12) в

левую

часть

уравнения

I I ) , найдем