Файл: Петрова С.Г. Обыкновенные дифференциальные уравнения учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 01.08.2024
Просмотров: 289
Скачиваний: 1
i (х-'К
+ |
QdnCCrotf-fai |
. . . . c„(x, |
y/""Jrr,]t |
|
|||||
-f |
• • • |
' |
|
|
|
|
|
|
|
* |
ar.,(t}[c, |
( |
" |
j |
t |
|
c„(yjy/crjji- |
|
|
і |
Йи (*j [С, |
(xjу, (YJ І |
• • • |
* С |
(xj у* (*,'] = |
/(xj. |
|||
Объединяя члены, |
содержащие |
С, (*\ |
Слі*)} |
• • • Си (*) |
, послед |
||||
нее равенство |
перепишем: в виде |
|
|
|
|||||
с,Ъ)у!""(*)< |
|
•'• |
* Ct'fv/J"""} |
<- |
|
|
|||
* 0 |
|
|
* а,(*)у/"«>(о v ... < |
й*./*>У-'(*)* |
fxj]+ |
||||
* СИС*) [у£Ъ, f <*,(*)уҐЬ; |
< ••• •* |
|
|
«дтtrj/»faj=fy |
||||||
Тав жав функции |
Уі(*)} •••(}» |
с У*ь решения |
однородного |
|
||||||
уравнения, |
соответствующего'уравнению (1) , то в последней |
равен |
|
|||||||
стве все выражения в квадратных скобках |
тождественно ; рая то |
|
||||||||
нулю, |
• в качестве |
Л- -го условия для определения |
с, tnt |
• •. d ( * ) |
|
|||||
мы получаем следующее: |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ь'С» |
У, ("'"с*) * c/t< )?/*'%) |
і - . |
•* |
с^М//""Ьс) |
* Щ |
т |
||||
Итак, |
для нахождения функций CCxij С.я(х)} . . . Chlx) |
(*очн»а |
|
|||||||
их проивводных) мы имеем следующую систему |
Л- |
уразвеня! с |
|
|||||||
л~ |
неизвестными |
С'(г), Сл'(х)л |
. . . |
Сц'(х) |
: |
|
|
|
||
|
C'OWxacJtofrix)*... |
v с£Сх)у*,с*) |
- о |
\ |
|
|||||
|
С,'(пу/Гг)< |
Q'(XJуЛ(*Н |
Cj(*> |
jft(*> |
'О |
і |
|
|||
Определив лем А Сх) этой неоднородной |
системы |
является |
||
вронскиан |
фундаментальной |
системы решений |
jf,(x)t |
•• >1JM(*) |
а. потому |
для любой точки |
К 6 (*-, * ) , ^ ^ |
^ ^ |
^ ^ |
to
(»->) {*-<) ці""1
и система (14) имеет единственное решение, которое можно найти при помощи иевёстных формул Крамера. Пусть; решив систему (14)»
мв наили
C/(t) = У, Мл |
С/fx) - ft |
(x)j . .. , |
Ch (x) |
f„ |
U) |
|
|||||
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
СЛ*) z j w t ' , |
|
W |
ф |
П olx} |
... j |
|
C„ I*) *JU |
t*)** , |
fa) |
||
(где интегралы представляют собой какие-нибудь |
первообравныв |
||||||||||
непрерывных функций |
l/i (х)) ^лЫ)--Подставлял |
|
|
теперь |
|
||||||
вжйденнне значения |
• • • СИ(х) |
в |
формулу |
( 5 ) , получим неко |
|||||||
торое решение |
неоднородного уравнения |
( I ) в виде |
|
|
|||||||
что и дожевывает |
нашу.теорему. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
•вложенный в атом пункте способ |
|
нахождения |
частного |
р е т е |
|||||||
ш а неоднородного уравнения (1) |
называется |
методом вариации» , |
|||||||||
прояавольных |
постоянных. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Замечание. Очевидно, |
что решение |
системы (14), выражае |
|||||||||
мое формулами |
(15), можно веять |
не в |
|
виде функций |
( 1 6 ) , ' а |
в |
|||||
следующем виде: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С.(*)=jwy'** |
|
С, |
- • • |
С» |
|
|
(*) |
+ |
|
|
|
где CtJ . • • С*, |
- проиввольные постоянные, a J ¥>(*) |
- какие-нибудь первообразные подннтегральных функций. При этом решение (5) данного дифференциаль ного уравнения ( I ) запишется в виде
Так как мы видели, что функция |
|
|
является частным решением уравнения ( I ) , |
то в ..силу теоремы |
|
1 §5 представляемая формулой |
функция |
сраяу дает общее |
решение уравнения ( I ) . |
|
|
§6. Линейные уравнения с постоянными ковффициентами.
Некоторые вспомогательные |
сведения, |
|
|
||
~±. Пусть |
j,(x) и |
JAC*) - функции, дифференцируемые В |
(^i*). |
||
Функцию |
4(х) |
+І Ы*) |
л ГАЄ. |
i"t=tJ |
|
называют комплексновначной функцией вещественной переменной л .
Ее производную определяют формулой |
' ' |
/7*) = 47*) + <'6'Н- |
|
В теории линейных дифференциальных уравнений о постоян ными коаффициентами весьма важную роль играют комплекспо значные функции следующего вида:
|
= |
fix |
* !• Є****/» * , |
0) |
где oi и J5 |
- |
некоторые |
вещественные |
числа. |
Докажем, что имеет место |
формула |
|
||
Действительноj
-66- |
Ы.Х |
~1 |
Если |
^ - вещественное число, то как известно из аналива, |
Сопоставляя формули (2) и ( 3 ) , видим, что выражения для произ водных функций а Є (где к - вещественное число) внешне сходны. Поэтому примем для функции ( I ) следующее обоз начение :
При втом из формулы (2) получаем
Таким обравом, формула (3) оказывается справедливой для любого
комплексного |
(а |
не только |
вещественного) |
числа |
к . |
|
|
||||
|
Из формулы (В)-последовательным дифференцированием для |
||||||||||
производной |
й- -го порядка функции |
Ємх |
получаем |
следую |
|||||||
щее |
выражение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечание, |
В теории |
рядов будет |
рассматриваться |
показа |
||||||
тельная функция |
Є Z |
от |
комплексного аргумента |
z |
, |
а |
|||||
тогда мы увидим |
, что |
символ |
(эС^+ч1)* |
, |
введенный нами |
вдесь |
|||||
для формального обозначения функции ( I ) , имеет вполне опре |
|||||||||||
деленный смысл. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
U. |
Рассмотрим |
полином |
|
Р(*) |
л--й |
степени с вещественными |
|||||
коэффициентами, |
и пусть |
Х- |
А* - его вещественный корень |
||||||||
кратности |
Ь |
» Тогда, как |
известно |
ив алгебры, |
имеет |
место |
|||||
следующее |
тождество |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Р(*)= С*-*-)г4(*К |
|
rA* |
gc^J^-o. |
|
(6) |
||||||||
Лемма |
1. |
|
Вели |
полином |
Р(х) |
имеет |
І- |
кратный |
|
(У-^І) |
|||
вещественный корень |
X-(Ks |
, |
то число |
Д- является |
|
(t-/J- |
|||||||
кратным корнем |
|
производной |
Р 'С*)• |
|
|
|
|
У |
|||||
Действительно, |
дифференцируя |
тождество |
(6) , получим |
||||||||||
или |
|
|
Р 'ы e |
* (*-*<)l~,<2(x;i- |
(*'*№*)*(х-*?мы™&] |
||||||||
|
р1 |
(к)*Lx'-*)l4Q |
|
і*-*), |
|
|
|
|
О) |
||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так-нак |
^,(^)- |
^ Q (сь)^- |
^ |
>т 0 равенство |
(7) и докавы-' |
||||||||
вает лемму І. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
' |
|
|
|
Лемма |
2 . |
|
Если |
полином |
|
Р(х) |
имеет |
|
t -кратный |
ft *->J |
|||
вещественный корень |
ys-tb3 |
то |
|
|
|
|
|
|
|
||||
P(a.)--P'(*-) |
= |
••• |
*Р11-О(я)=0, |
|
|
P(tJ(*.)*0. |
(ї) |
||||||
Применяя |
лемму |
I |
последовательно к' поликошм |
" |
P(*)j |
||||||||
P'(t) ... |
получаем следующую цепочку |
равенств: |
|
|
|||||||||
Дифференцируя последнее тождество ив (9) найдем
Р |
» Qi., с*) * (х-«о <?L |
• |
О') |
||
Полагая в (9) и |
(10) |
х ~ Л. |
«Убеждаемся в |
справедливости |
|
леммы 2. |
|
|
|
|
|
Замечание. Леммы |
1 и 2 |
остаются справедливыми |
и в слу |
||
чае комплексного |
корня |
Х-А.. |
|
|
|
2. Характеристическое уравнение линейного бднородного урввне-