Файл: Петрова С.Г. Обыкновенные дифференциальные уравнения учеб. пособие.pdf

Пусть

теперь

у=

Є

- некоторое

решение

уравнения ( I ) ,

тогда

,

и так как

Q

=f О

,

то в

саду

( 8 ) ,

= О.

\-£

0ЯКу

Наоборот,

если

для некоторого

f*C*-)-0^

ї

0 в

g)^

L[eK"J

= О

,

и функция

у-

ёК*

есть

решение

уравневвя

( ! ) .

Лемма

3 доказана.

Ниже мы покажем,

что для нахождения

общего

решения

уравнения

( О достаточно найти все корни

его характеристического

уравнения.

8. Построение фундаментальной системы решений

в случае

простых

корней

характеристического

уравнения.

*

Рассмотрим

дифференциальное

уравнение

и его характеристическое

уравнение

Р{А)

= Л \

а, Л"'-*

• • •* 4*.,й

+ Л„ = О.

fyj

Пусть

уравнение

(2) имеет

А.

простых

корней

К,,

Тогда,

согласно

лемме

8,

дифференциальное

уравнение

О )

имеет

Л,

частных

решений вида

V e 4 * ,

й = е * ' а

. . . > - е * ^

^ с * >

Имеет

место следующая

Лемма 4. Если все числа

к,, Кі,- •

м»

(вещественные

ила комп­

лексные) различны,

то функции

жинейно

независимы на всей числовой оси .

Действительно,

рассмотрим

тождествен

С,Р*• *•+ Cj Є

,

, .

+ С» б * * =• О

(*)

И ДОПУСТИМ, ЧТО ХОТЯ

бЫв ОДНО ИЗ ЧИСеЛ

С';

GTJ

• • •

С*

отлич­

но от нуля. Не ограничивая общности, будем считать, что

CT"^-0.

Разделив (4) на

(?

"

,

найдем

c e ^ ' S ^ ^ ^

V - C e ^

^

c

-

о.

(г)

Дифференцируя

( 5 ) ,

получим

тождество

с о д е р ж а щ е е

одним

слагаемым

меньше, чем тождество (4).

Разделив тождество

(б) на

Q^"""

f

найдем, что

Дифференцируя ( 7 ) , получим тождество

С, (*,-*»)(*-^)Є{г,'Ммі*

... „ С„.л(к*-Г**)(**-С*Ч

e r

W ^ - ' ^

0 j

содержащее

слагаемых. Поступая

аналогично,

черев

/і-і

шагов

получим

тождество

С; (*,•**)(*,-

**-.)-•

( И , - ^ )

£ Г К

' М Л - І Л

=•

0.

Так

как все числа

ii,t ^

. ..-£„ равличны,

то ив последнего

равенства

следует, что с; - о.

Таким о б р а з о м ,

тождество

(4) возможно

лишь

если

С | - С 1 =

-• = Си-0,

а

п о т о м у

функции

ЄКУ1

Є*1 *,- ••€*""

линейно

независимы

на всей

числовой оси .

Таким образом, если

все корни

характеристического уравнения

(2)

простые,

то решения

в * ' j е ^ *

t

" л

уравнения (1)

обрайуют

ег о фундаментальную

систему. Поэтому общее

решение

уравнения

( I ) в рассматриваемом

случае имеет вид

где

С,;

. . }

С„

-~

произвольные

постоянные.

Если

все корни

К,гкл

..

К*

уравнения

(2) вещественные,

ТО ВеЩеСТВеННЫМИ

будут И ВСЄ фуНКЦИИ

Pj'e^*-

j

^

а,следовательно,

и общее решение

(8) дифференциального урав­

нения ( I ) .

Пример.

у "- Зу '•+£у=

®-

Характеристическое

уравнение в

атом случае

имеет вид

и его корни

суть

А,- / и

хл

?і

. Следовательно,

функции

-

составляют

фундаментальную

систему

решений

заданного*уравне­

ния,

а его общее р е ш е н и е

имеет вид

- 7 1 -

_

• -

-

Рассмотрим теперь случай, когда среди

корней

•

характеристического

уравнения имеются

комплексные. При этом

среди решений

е * " ' . - . , б * * уравнения

( I ) ,

составляющих

Покажем,

что и в этом случае

всегда

можно

построить фундамен­

тальную

систему решений уравнения ( 1 ) ,

состоящую ЛИШЬ Н8

вещественных функций. Для втого докажем следующие

вспомога­

тельные

предложения:

Лемма 5. Если компдексноаначная функция

является

решением однородного уравнения

то, ее вещественная, и мнимая

части

W*y

и У(*)

также

Являются решениями уравнения ( 1 ) .

Действительно,

с

одной

стороны,

I

rtuxj + cvc*)] -

ot

с другой

же стороны,

Следовательно,

= o.

(з)

L[ucx>]ttL[rtv]

Но комплексное число равно нулю тогда

и только тогда, когда

его вещественная и мнимая части равны нулю. Поатому Ни (9)

заключаем, что

££*&]-

°>

L£v(*ti*

О,

и лемма 5 докавана.

Лемма б . Пусть функции

линейно

независимы

на

некотором

интервале

ґ&>{),

и допустим,

что среди них имеется

по крайней

мере одна пара комплексно-