Файл: Петрова С.Г. Обыкновенные дифференциальные уравнения учеб. пособие.pdf

fe^E'

tiCwtfx. +

г /

г Л Г у < О

В данном

олучае

N

V

S

U

(*, у} •> JP(ziY/Jx

-

Щ)*

J

*H'lVJ

*jg*#xtiW>,

^

^

з

отеюда

^ ( ' я .

/ . /

' - Ч

" ^ ^ "

^ " ^

формулой Щ ±<£ #

с ,.

Всякая функция JU "JU '^t^/

» Для которой уравнение

вании т е о р е м ы ( I I . . .

.

-

зо -

сразу убеждаемся в справедливости следующего предло­

жения?

Теорема

3.

Если

функция/*7 ''*,Непрерывна в

области

вместе

оо

своими

частными производными

первого

порядка, то

для

того

чтобы эта

функция

бытга интегрирующим

множителем

урав­

н е н и я ^ )

, необходшо-и достаточно , чтобы во

всех

точках

обла—'

сти Р

выполнялось

равенство

(9)

Производя

элементарные преобразования,

запишем

(9)

в ином

в и

д

е

:

ч

-

р

gtf-.J^i

^

-

или

р

д/ч__

_ L a

_

у

(10 V '

валентного

ему исходного уравнения ( I ) . (Мы считаем,что JJ

(ч^)фо

в области

О

, в противном случае уравнение (8) может

иметь

посторонние

решения,определяемые ураввениемуи 1у,^)

- О .

Теорема 4. Если функция ~

—

зависит

только

от

, то уравнение

( I )

имеет

интегрирующий

мнонитель,

также

зависящий тялько

от х

,

вида

и (У) - - е ~/'ШІУЖС/К

С " )

w Отсюда J U

,

что

вместе

с тождеством

~

доказывает, что функ­

ция

( I I ) есть

решения уравнения

( J - X ) .

Аналогично

доказывался

и

.

<.

* & Ч -

іеорема

5,

лсли

функция

-р—кг~

зависит

только

от

, то уравнение

( I ) имеет

интегрирующий множитель,

также зависящий только^от М

. вида

Примв£.

(х +f^Z)cU - Qx^jdy-d

в этом

случае

?{*,<!)•-

у \ Ч \

-~ -2*;/,

£ f ^

? y ' £

£ r ~ 2 J

с' 'У

^

СУ X

§7.

Уравнения,

не

разрешенные

относительно

проивводной.

В этом

раеделе

ыы ивучим

некоторые

уравнения вида

в той случае,

когда

уравнение

(1) не раврешико однозначно

относительно

у'

.

Часто встречаются уравнения вида О)-,

в которых

функция

F(x>jf,y')

представляет

собой

многочлен

/ £ - ой степени

относительно

у'

с

коэффициентами,

вообще

говоря, «ависяля-

ми от

X

и

Ч

» Таковы

уравнения

вида

- (?)

4Ы/ГГ+-

•

*А»-<С/'М

У'+ л"

= °>

(А)

где коэффициенты

А к. 1*1$) суть функции, непрерывные

в

неко­

торой

области

Ч£

на плоскости

»

Если

удается,

решая уравнение

(/і) относительно

,

найти

(в некоторой

области

%>о ,

оставляющей часть

£>

или

совпадающей

с все) все

У» (^І

*<) его веаествежжмх

корней, то

уравнение

<&) можно привести

ж

f»

•квяжалавтвш

«к / а сово­

купности і

области

<&с

уравнения \ 1-го порядке

В И Д І $*І(*>¥І

Например,

уравнение

Xf*+

о,

:

записанное

яя всей плоскости,

кроме

пряжей

Jf"^

ш иж е

• эквивалентно

ж области

fc*

,

определяемой

жерадоДОжчж

^ £ » о

, двум уражвеж.**

первого поряд*.

Рассмотрим теперь тот случай, жогдй уравнение ( I ) оджоа-

начно раврежимо относительно

у

I

Шее* вжД

Теорема. Всякое

решение

£(х]

уравнения

(2)

имеет вид

ij

-f(*>

РС*>)

,

где

- некоторое решение уравнения .

/

-

0*

+ 2р

с/К ,

1 J

в

котором

функция

J-

представляет собой

правую

часть

урав­

нения

(2)

при

У'~Р

-

Наоборот,

если

f^P^)

-решение

уравнения ( 8 ) ,

то

функция

р^І^Р^1)

есть

некоторое

решение уравнения

( 2 ) .

Действительно,

пусть

У~~

некоторое

решение

урав­

нения

( 2 ) ,

подставляя

его в

( 2 ) ,

получим

тождество

jw

= їх

* у

it*.

Следовательно,

=

J(

ж, f>C*>) }

где

р

= / ' ^

~-

функция,

удовлетворяла я

уравнений ( 8 ) .

Допустим теперь,

что

некоторое

решение

уравнения ( 8 ) .

Составим

функцию

и, переписав уравнение (2) в виде

подставим в его левую часть

у = j(x>

Р(*>) j J

~

* Ъ~/>

Помня,

что

р-рС*)

есть

решение

уравнения

(3),найдем

что

Следовательно,

функция

(4)

есть

решение

уравнения

( 2 ) .

Такім образом,

теорема

доказана

полностью.

Иа n o t

теоремы следует,

что

для

нахождения всех решений

уравнения (2) достаточно найти все решения более простого

вспомогательного уравнения ( 3 ) ,

Если функция

р±

pCj

<?J

дает

все

решения

уравнения