Файл: Киселев В.А. Расчет пластин.pdf

Уравнения

поперечных

сил

Qym{y)

могут быть

записаны по

(2.155), (2.156),

a_Qxm <"> — по

(2.159),

(2.160),

полагая в

этих

выражениях

е =

е =

1.

m обозначает

Напомним,

что

в

уравнениях

(2.149) — (2.161)

порядок члена

ряда

(т =

1, 2,

со), а

п — номер

участка

по

оси у (п. = 1, 2,

... по количеству

участков).

Полные

значения

расчетных

величин

на /г-м участке пластины

определяются

по

формулам:

прогибы

wn(x,y)=

2

Ymn(y)s\n~

тлх

(2.163)

a

m =1

изгибающие

моменты:

Msn(x,y)=

S

Mxmn(y)sin"-^;

'

(2.164)

m = 1

a

Mun(x,y)=

2

Mljmn(y)sm'^;

"

(2.165)

m =

I

крутящие моменты

оо

"hen (X, У) -

S

m*mn (У) c

o s — J

(2.166)

m =

1

a

поперечные

силы:

СО

У*Л

2 ^ m a ( y ) c o s ^ ;

(2.169)

m = 1

Ув »(* .0) =

S ^ ш Ы ^ П у .

(2.170)

•

m = î

Составим на основе выражений (2.149)—(2.162)

и

данных

табл. 2 расчетные величины, когда wn

(х, у)= 2

Ymn

(У)cos cos

—

:

2

Утп

(У)

m = Q

а

і =о

а

3 Зак. 109

65

тпх

. тпх

при cos

при sin

У',пп{у) = У'тп{у)

по (2.151),

(2 152);

. Мхтп{у)^-Мхтп{у)

по (2.157),

(2.158);

Мутп(у)

= Мутп(у)

по (2.153), (2.154);

—тХтп(у)

= тхтп(у)

по (2.161),

(2.162);

~Qxmn(y)

= Qxmn(y)

по (2.159),

(2.160)

при в =

ё = 1;

+ Qymn(y)*=QVmn(y)

по (2.155),

(2.156)

при е = 1 ;

~Ѵхтп(у)

= Ѵхтп(у)

по (2.159),

(2.160);

ѴУтп(У) = Ѵутп(у)

по (2.155),

(2.156).

В этом случае нижнее значение сумм в формулах

(2.163) —

(2.170) начинается с m = 0

и, кроме того, надо везде

поменять

тпх

тпх

тпх

. тпх

sin —-_— на cos —— и cos —— на sin

а

а

а

а

Уm (у) = Ат

ch r1y+Bmshr1y

+ С,п chr3y

+ Dm sh г3

y, (2.171)

где

г! = l / a j ,

- I -

/a*,

— K,\

r3=V

al

— f am —

К.

Функции, удовлетворяющие единичной матрице (2.118), полу­

чаемые на основе табл. 3, для этого случая

имеют вид:

ЬАУ)=

j

C h

r i U

(2.1

Lt{y)=

+

\&Ьг*У

;

(2.173)

L3(y)

=

rch ri y

I 4

ch r3

у

;

(2.174)

о |Л

«

n i / *

1«

^ К

OS/л—А/л

<5, f am—Am

Lt(y)

=

sh ri w

sh r3 у

.

(2.175)

66

2ГіѴат~К

2r3V^m~%fn

функции

Fx

(у), F2 (у),

F3

(у)

и

F^y),

будут:

Кі (У) = ch ат

у — - і - ат

у sh ат

у;

(2.176)

К2 {у) = — (~

sh ат

у

~ ат

ychamy);

(2.177)

а т

\ 2

2

У

Ка(У)=-^Г

(^ - œ mi /sha m î/) ;

(2.178)

am

V

2

У

^ 4 (У) = - V ( — 7 " s h

"m У + 4~ ат У ch a m у ) -

(2.179)

<Хт

\

2

2

/

5.

Граничные

условия

а) Начальные

параметры

на крае

пластины

при у = 0.

1) На

шарнирной опоре:

начальный

прогиб

Ут

(0) = 0;

начальный тангенс угла наклона Y'm (0) = ? (неизвестен);

начальный

изгибающий

момент

Мут

(0) =

0 или заданной

сосре*

доточенно-полосовой моментной нагрузке

по (2.141), (2.142);

начальная приведенная поперечная сила (опорное давление)

Yym х

X (0) = (неизвестна).

2)

В

защемлении:

У т ( 0 ) = 0;

У;Л0) = 0;

М„г а (0) =

?;

V„m (0) = ?

3)

На

свободном

крае:

У т ( 0 ) = ?; П ( 0 ) = ?

Ѵ„т (0) = Л„(0) + Я т ( 0 ) ,

(а)

3*

67

где Рт

(0) — заданная сосредоточенно-полосовая нагрузка по

сво­

бодному

краю, a Rm

(0) — сосредоточенно-полосовая

реакция

уп­

ругого

основания.

Сосредоточенно-полосовая реакция упругого основания Rm

(0)

может быть выражена через геометрические элементы

перемещений

упругого основания

на свободной грани (рис. 40):

#m(0) = c2 [tgcpm -r,;,(0)].

(б)

~r+——-£іш

= 0.

(в)

дх2

ду2

с2

ѵ 1

W [Х, у) =

Wm ІУ) S I N — •

( Г )

111

---1

w'm(y)-(-^

+ ^f)wm(y)=0.

(д)

V с2

a-

J

Решение

этого

уравнения

A m e v . c - +

ш-п-

wn(y)

=

°°-

У

+

Вте

V *Г

*

\

(e)

Положим, что при y =

— оо,

wm

(y) = 0. Это дает

Bm

= 0.

При

у = 0,

wm

(0) = Ym

(0),

следовательно,

Ат

= Ym

(0).

Те­

перь

уравнение

(е) будет:

Л Г ci

, т-я*

*>т(У) =

Ут(0)еУ

с=

а2

(ж)

ражена

через

те же неизвестные начальные Параметры пластины

Yт (0)

и Yin

(0), подлежащие определению.

основания

на

свободной

грани

у = Ь:

(и)

Как видно,

при

любом рассмотренном

закреплении

пласти­

ны на крае у = 0 только два

начальных

параметра

неизвестны,

которые и

подлежат

определению

по двум

заведомо

известным

граничным

условиям

на

гране

пластины

при у — Ь.

б)

Заведомо

известные

граничные

условия

на крае

у =

b

1.

На шарнирной

опоре

Ym(b)

= 0;

(2.180)

Mym(b)

=

0,

'

(2181)

(2.141),

(2.142).

2.

В

защемлении

Ym(b)

= 0;

'

(2.182)

У™(6) = 0.

(2.183)

3.

На свободном

крае

Мут

(Ь) = 0,

(2.184)

или

заданной сосредоточенно-полосовой

моментной нагрузке

по

(2.141),

(2.142):

Yym(b) = Pm{b)~Rm(b),

(2.185)

где

Рт

(Ь) по (2.136), (2.137).

условиям

на

крае

пластины при

По

двум

заведомо известным

у =

b для

каждого

значения

m — 1, 2,

3,

...

составляются

два

но Rm (b), когда

с2 =^0,

значительно осложняет

расчет.

Если нагрузка

на пластину симметрична или

кососимметрична

6

относительно линии у =

-^, то граничные условия можно писать по

ширины

пластины:

а) при

симметричной нагрузке

Y'm(±-)=0;

(2.186)

Ѵ и т ( 4 - ] = = 0 ,

(2.187)