Файл: Киселев В.А. Расчет пластин.pdf

Y;,,,

(y)=K;,I2

(y)

f

m ли Am

К

(y-d-bd)-

2

S Ä

[\-F'2(y~d~Ad)];

(2.207)

л и

о / ) = л и (y) +

2 (

^

л

{

-

f

; (y-d-àd)-?

(

^ ) 2 ж

X [1 - Fx (y-d-

Ad)]} +

^

^

r

{-K

(y-d~Ad)

-

-

H- i ~

[ ( i / -

Ad) - P 2

( y - d -

Ad)]J;

(2.208)

* U Ü / ) = Vvmi(y)+

2 (

^

A

[~.F-;'(y-d-

Ad)

+

+

E f ^ V ^ ( y - d - A d ) '

+

A

- X

2 s

X

| - F 2 " ( i / - d - A d ) - e

( ^ ) 2 [ 1

-

^ ; (У -

d-

Ad)]}. (2.209)

По заведомо известным граничным условиям на стороне плас­

тины

у — Ь,

применив

выражения

третьего

участка

пластины

По уравнениям второго

участка:

при

с =

d — 0

Ас =

a,

Ad =

b, s =

0 (рис. 43,

а);

при

Ас =

а — с

Ad ~

b — d,

s =

—

q (рис. 43,

б);

при

Ас =

а — с

Ad ~

b —• d,

q =

0

(рис. 43, в);

при

Ad — b —

d

с — 0,

s =

0 (рис.

43, г).

При

этом

надо

иметь

в

виду,

что:

1) если d = 0, то исчезает первый участок,

второй

участок ста­

новится первым, а

третий — вторым. Однако

выражения

первого

участка (2.198) — (2.201), входящие в выражения второго

участка

(2.202) — (2.205),

сохраняются;

2) если d = 0

или

d + Ad = b, то

исчезает третий

участок,

и выражения для

него

(2.206) — (2.209)

становятся

ненужными.

запишем по (2.202) — (2.206)

уравнения

Ym2

(у) и Ym3 (у) при

s =

0:

2q cos

тл.е

—cos

тл (с +

Дс) 1

Ym2

(y)=Yml

а

а

(у) +

mnDkt

[l-Fiiy-d)};

тле

тл

(с-|-Ле)

Ym3(y)

= Yml(y)

2q

cos

a

—cos

a

X

тлЛХ'т

5)

Ym3(y)=Ym,(y)

+

2Р

тле

тл (с -+- Ас)

X

AcAdmnDXtn

cos

cos

-—• -

а

а

д

тле

mnüXm

—

COS

dd

de

а

Производя дифференцирование

окончательно получим:

Ym,(y)

= Yml(y)+

¥ -

s i

n ^ Ft(y-d).

(2.210)

aD

a

Это выражение

совпадает

с ранее

полученным

(2.194); таким

прямоугольнику

со сторонами

с и d,

параллельными

осям х и у,

распределенными

нагрузками,

зависящими только

от

коорди­

наты X.

Полный прогиб пластины w (х, у)

представим в виде двух сла­

гаемых:

ш (х, у) = Wj. (х, у) +

w2 {х, у),

(2.211)

где wx

(х, у) — функция, удовлетворяющая однородному уравнению

V2 V2w1 = 0,

(2.212)

w 2

(х,

у)

— некоторое частное

решение общего уравнения

(2.212)

с

правой

частью

Ѵ 2 Ѵ 2 д а 2 = — ^ р .

(2.213)

Решение однородного уравнения (2.212) принимается в виде

ряда

Щ(х,

у) =

2

Y°™ (У) s i n

Ѵ".

С2 -2 1 4 )

m =

1

где

n l ( y ) = A n C h Ä +

ß m S h

Ä

+

а

а

+ г

sh Ä

+ Dm

Ä

c h

Ä .

(2.215)

а

а

а

а

уравнения упругой линии балки

^ L = _ l W

( 2 - 2 1 6 )

Это частное решение должно удовлетворять граничным условиям

шарнирного опирания сторон пластины х =

0 и х — а и, следова­

двух шарнирных опорах с пролетом

/ =

а и жесткостью EJ — D

от

заданной нагрузки.

w2 (х) раскладывается в ряд

Далее частное решение

w2(x)=

2

am sin

.

(2.217)

m = 1

a

где

а

am =

—

f w, (*) sin

а

djc.

(2.218)

a J

о

Общее решение для каждого участка пластины со своими про­

извольными постоянными можно представить в таком

виде:

ю (X, У) =

2

IF°m

(if) + c m ] sin

(2.219)

m =

1

a

На тех участках пластины, где по всей ее длине нет нагрузки,

ат

=

0. Произвольные

постоянные в

Y°n (у) определяются по гра­

ничным условиям на сторонах пластины у = 0иу=Ьипо

усло­

виям

сопряжения отдельных граничных участков по оси у.

Иногда вместо разложения в ряд частного решения

расклады­

вается в такой же ряд заданная

нагрузка

q (х), входящая

в урав­

нение

(2.216):

q(x) =

2 ? m s i n - ^ i ;

(2.220)

m = l

qm=-?-\q(x)sm^dx.

a

(2.221)

a

J

о

Окончательное решение

представляется так:

w ix, , ) =

g

\Yl{y)

- -

^

] sin HZ-.

(2.222)

/71= 1 L