ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 03.08.2024
Просмотров: 91
Скачиваний: 0
Если изложенный в этом параграфе прием распространить на пластины с упругим основанием, то ѵог (х, у) надо искать из урав нения
V2 V2 |
— V 2 Wi = 0, |
а частное решение ш2(х) из уравнения
d*w2 |
Сх w |
|
d? ша |
= |
g (x) |
dx* |
D |
2 |
D ' dx2 |
|
D |
В этом случае |
Ym (у) |
определяется |
по выражению (2.112): |
||
Y°m (y) = Am |
ch ß m y cos ym |
y + Bm |
sh ß m y cos ym y + |
||
+ Cm chßmysinymy |
+ |
|
Dmshßmys\nymy. |
||
Частное же решение w2 (х) будет представлять собой уравнение упругой линии балки на двухшарнирных опорах и на упругом основании с двумя коэффициентами постели, с пролетом I = а и жесткостью EJ = D.
Г л а в а 3
РАСЧЕТ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ОРТОТРОПНЫХ ПЛАСТИН
§ 13. Основные данные
Ортотропной пластиной называется пластина из мате риала с различными упругими свойствами по трем взаимно пер пендикулярным направлениям, называемым главными направле ниями. Эти направления совпадают с принятыми осями декартовых координат.
Расчет ортотропных пластин основан на тех же гипотезах, что и расчет пластин изотропных. Будем считать грани (стороны) пластины совпадающими с главными направлениями (рис. 44).
Пусть для направления по оси х упругие характеристики будут Дд я направления по оси-у — Е2\.і.2 и для направления по оси
£ 3 ^ 3 .
Для главных направлений в плоскости пластины имеется за висимость
^ІІ-Ч — £г11 ѵ |
(3.1) |
|
S3 |
На основе ранее принятых предпосылок можем написать за висимости деформаций от напряжений:
С учетом (3.1) в окончательном виде: |
|
||
<*х = |
— |
(еж + ^2 ЦУ, |
(3.4) |
о\, = - |
? |
(Ej + ^ e J |
(3.5) |
вместо (1.1), (1.2). |
|
|
|
Геометрические зависимости |
(1.6) — (1.8) здесь |
сохраняются. |
|
§ 14. Цилиндрический изгиб пластины
Если длина пластины в направлении оси у велика, а на грузка вдоль этой оси постоянна (рис. 45), то гу = 0. Изгиб пласти ны в этом случае называют цилиндрическим. Согласно (3.3),
По |
формуле |
(3.4) |
|
|
|
ох = Е\ьх, |
(3.6) |
где |
Е*, = Ej |
: (1 — |xl ( .i2 ). |
(3.7) |
|
Зависимость (3.6) такая же, как в теории изгиба бруса. Поэтому |
||
можем сразу написать дифференциальное уравнение изгиба пластин в таком виде:
|
dx2 |
|
|
Е\ |
J |
Di |
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Dl=E*i |
— |
= |
|
— |
|
(3.9) |
|
|
|
|
12 |
(1 — m М-г) 12 |
|
|
||
цилиндрическая жесткость в направлении оси х. |
|
|||||||
Исключение из (3.8) Мх |
|
путем двойного дифференцирования это |
||||||
го выражения по х приведет к |
уравнению |
(2.5) с заменой |
в нем |
|||||
D на Dx: |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
^ o y |
_ |
^ |
. i |
l ^ |
= ^ l l |
£ L . |
(3.10) |
dx* |
Di |
|
|
Dy |
|
dx2 |
Dx |
|
Если же длина пластины в направлении оси х велика, а нагруз ка вдоль этой оси не меняется (рис. 46), то здесь уже гх = 0. Тогда
85
по (3.5) получаем
о-(/ = £ ! е У )
где
ЕІ - Е2 : (1 — Hijig).
Дифференциальное уравнение изгиба пластины будет:
daa> _ |
Л4Ѵ _ |
My |
где
D, = £ 3 ^ - = £ a / i 8 : 12(1 — ЦІ цв )—
(3.11)
(3.12)
(3.13)
(3.14)
цилиндрическая жесткость для направления г/. |
|
|||
Исключение из (3.13) Му |
для пластины |
с упругим |
основанием |
|
приведет к выражению |
|
|
|
|
- ^ . 4 . ^ - ^ _ |
^ ? _ . ^ = = _ Ü £ l . |
(3.15) |
||
dtß |
D2 |
D 2 dif- |
Dz |
|
§ 1 5 . Чистый изгиб пластины
Чистым изгибом называется деформация элемента пла стины только от изгибающих моментов Мх и Мѵ (рис. 47).
Найдем деформации е к и еу , рассматривая бесконечно малый эле мент в деформированном состоянии (рис. 48), посмотрев на него вдоль оси у. Удлинение волокна ab на расстоянии z от серединной (нейтральной) плоскости будет:
_ab—dx_ |
(Px + z) tfrPi— Р:с ФРі _ |
z |
dx |
рх d<px |
р* |
или приближенно, как обычно принято,
дх2 z. (3.16)
Аналогично, посмотрев на элемент вдоль оси х, получим:
86
Напряжения öx |
и ау. |
найдем |
по |
(3.4), |
(3.5): |
|
|
||||||||
|
|
сг,.= |
|
Elz |
|
|
( » * + у ^ £ ш \ . |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
ау= |
|
|
£ 2 |
z |
|
[ |
д-w |
+ |
^ |
d2w |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
( 2 1 " |
ÜÜL . |
|||||||
|
|
|
|
l |
- f |
l U |
l 2 |
|
\ |
Ôtf3 |
Г |
" |
|
OA."2 |
i |
В соответствии с рис. 14 можем написать: |
|
|
|||||||||||||
|
|
ft/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Л/2 |
|
|
Мх |
dy = |
^ |
|
ох |
dy dz z; |
|
Mydx |
= |
|
^ |
ay |
dx dz z. |
|||
|
|
-hl |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-Л/.2 |
|
|
Произведя |
сокращения, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
/(/2 |
|
|
|
|
|
|
|
ft/2 |
|
|
|
|
|
Aîa- = |
^ |
oxzdz; |
|
My= |
|
^ |
ayzdz. |
|
|||||
|
|
|
-ft/2 |
|
|
|
|
|
|
- ft/2 . |
|
|
|
||
Подставим сюда |
о ж |
и |
ау |
по |
(3.18), |
(3.19): |
|
|
|||||||
|
|
Л/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-ft/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Л/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
f |
|
|
|
^ |
|
f |
- |
^ |
+ |
p |
^ |
W |
|
|
|
-ft/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
После интегрирования |
получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
( З Л 8 )
(3.19)
V |
; |
(3.20)
" . - - " . ( - £ + " . - £ - 1 ; |
< 3 - 2 » |
вместо (2.8), (2.9).
§ 16. Кручение пластины
Кручением пластины называется деформация элемента пластины от крутящих моментов (рис. 49), представляющих собой моменты касательных напряжений относительно нормалей в центрах тяжестей граней элемента. Поэтому:
|
ft/2 |
mxdy= |
^ тху dy dz z; |
|
-ft/2 |
87
|
|
|
іпу dx = |
Л/2 |
тух dx dz z |
|
|||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
—h/2 |
|
|
|
||
(моменты от касательных напряжений xxz |
и xyz не учитываются как |
||||||||
высшего |
порядка малости). |
|
|
|
|
|
|||
После |
сокращений: |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
Л/2 |
|
|
|
|
|
|
|
тх= |
|
j |
rx,jzdz; |
|
|
(3.23) |
|
|
|
|
—л/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h/2 |
|
|
|
|
|
|
|
т„ = |
J |
t^zrfz . |
|
|
(3.24) |
|
|
|
|
|
|
-Ii/2 |
|
|
|
|
Учитывая закон парности касательных напряжений, получим |
|||||||||
закон |
парности |
крутящих |
моментов |
|
|
|
|||
|
|
|
|
тх |
= іПу. |
|
|
(3.25) |
|
Касательное |
напряжение |
|
получим, |
применив (1.11): |
|||||
|
|
|
т э д = 0 Ѵ я в = - 2 е £ і г , |
(3.26)" |
|||||
где G — модуль |
сдвига ортотропного материала |
пластины. |
|||||||
Подставим (3.26) в (3.23) |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
, 1 / 2 |
Д2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
-1,2 |
О2 |
tu |
о |
|
|
|
|
" |
|
***У |
|
|
||
После |
интегрирования |
получим |
|
|
|
||||
|
|
|
тх — т„ — — 2DK „ |
|
, |
(3.27) |
|||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D„v |
= Gh?: 12. |
|
|
(3.28) |
||
§ 17. Общий случай изгиба пластины
Силы и моменты, действующие на бесконечно малый элемент пластины, даны на рис. 50. Условия равновесия записы ваются так же, как и для изотропной пластины, что приведет к вы ражениям (2.14) — (2.16):
• ^ - + - ^ - - ( 9 + 0 = 0; |
(3.29) |
88
