Файл: Киселев В.А. Расчет пластин.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 03.08.2024

Просмотров: 101

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Подставим (3.26) в (3.23)

 

 

 

i

+

Ä _ Q

- о ;

 

(3.30)

 

 

 

ду

 

 

дх

 

 

 

 

 

 

 

 

д М х

+^!hL~Qx

= 0.

 

(3.31)

 

 

 

дх

 

 

ду

 

 

 

 

 

Из уравнения (3.31)

имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

Q-.

дМх .

дпіу

дМх

!

дтх

 

 

дх

 

 

ду

дх

I

ду

 

 

 

 

 

 

 

Учитывая

(3.21)

и (3.27),

 

 

 

 

 

 

 

 

п

г-

; d3w

 

,

Ô'ill

\

 

 

d3w

 

 

 

 

дх3

 

' '

* dxdtfj

 

 

к р

дхду2

Окончательно

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

*

 

D3 = li2D1

+ 2DKp

= \iiD2

+ 2DKV.

(3.33).

Аналогично из (3.30)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 , J ~ ~ d y ~ + дх '

 

 

 

Используя

(3.22)

и (3.27),

получим

 

 

 

 

 

п

„ /' д3ш .

 

d3w \

 

о п

 

дйю

 

J

V <ty

 

 

Ô.Ï2 ö(/

)

 

дхду

Окончательно

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M - ^ + t - s J ) -

( 3 ' 3 4 >

Попутно составим выражения для приведенных поперечных сил:

^

- А

д3

w

. -

д3

w

(3.35)

( ^ г

+

в

^

1 ;

 

 

 

 

f - 8

 

 

 

 

 

йѵ3

 

 

дхду2,

 

т/

 

л / д3 w . д3 m \

,„ о с ч

y

» =

- 4 i 7 +

W '

( 3 - 3 6 )

где

 

 

 

 

 

 

 

 

ö l

 

 

 

0 2

 

 

89

Теперь составим производные от (3.32) и (3.34), получим:

dQx

г,D

/I а*іd*w

D3

d*w

\ ѣ

дх

 

1 {

дх*

Di

" dx2diß)

'

d Q v _ = _ D

(

à*w

. D3

а'ш

 

ö(/

2

V %4

D2

дх2 ду"

 

Подставляя полученное в уравнение (3.29), будем иметь диффе­ ренциальное уравнение изгиба пластины в общем случае

__£) ( d * w

J D

s

à'w

\

D

fdiw"l

D3

d*w

 

dx*

DL

дх2ду21

 

"\

ду*

D2

дх2

ду2

 

 

 

 

-(<? + 0 = 0-

 

 

 

 

Окончательно после

упрощений

 

 

 

 

 

 

 

„

d*w

,

лм

d*w

.

p.

d*w

-

/ ,

\

/о oo\

D l

* Г +

2 0 з ^

 

+ D

 

^ =

^ + r).

(3.38)

Если упругое основание с двумя коэффициентами постели, то

д2 w . d2w дх2 ду2

С учетом реакций упругого основания уравнение (3.38) будет:

 

дх4

 

дх*ду2

~

ду*

 

 

 

,

 

 

(

д'-w

.

d2w

\

) =

—4,

, 0

оп\

+ c i w ~

c i

[ - ^

-

+ - ^

-

 

(3-39)

где:

 

=

Exhs

: 12 (1 — jijUç);

 

(3.40)

Dx

 

Dz

 

= E2li3:

12

 

(1 —Hijia);

 

(3.41)

 

 

D K p

= G/г3 : 12;

 

 

 

(3.42)

£>3 = DlV,t

+ 2D„P

 

= ZJaHi +

2DI i p ;

 

(3.43)

 

B =

( D 1 | i a +

 

4£>Hp) :£fa ;

 

 

(3.44)

 

B =

(Dil*, + 4DB P ) IDJ.

 

 

(3.45)

Для изотропных

пластин:

 

 

 

 

 

 

 

= D 2

=

ö 3

=

D =

£/г3 : 12

(1 — ц2 );

(3.46)

90

Б = 8 = 2 — i l .

(3.47)

При данных по (3.46) уравнение (3.39) перейдет в уравнение (2.27).

§ 18. Изгиб пластины с учетом растягивающих постоянной интенсивности Нх и Нѵ сил,

действующих в срединной плоскости (рис. 51)

Рассмотрим бесконечно малый элемент пластины с учетом растягивающих сил в двух проекциях (рис. 52).

Условия равновесия:

2 Х = — Тх cos a dy + ITX cos a dy + d (Tx cos a) dy] — 0;

2 У = — Ту cos ß dx + [Ту cos ß dx + d (T„ cos ß) dx] = 0.

Из них получаем:

d [Тх

cos а) =

0;

d (Ту

cos

ß) =

0.

Следовательно,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Tx

cos а =

Я«

и

Г у

cos

ß =

Hv.

(3.48)

Цепные силы

Тх

и Т у

удобно

представить

их составляющими

(рис. 53).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

К условиям равновесия, записанным при получении уравнений (2.14) — (2.16), здесь надо добавить силы и моменты от дополни­ тельных сил Hх и Ну и записать их в таком виде:

 

^Z=~Qxdy

+ {Qx+^-dx)

 

dy-Qydx

+

 

 

+ ( Q " + " Ц г d y

) d

x

~ { q + r ) d x d y ~ H x

i t d y

+

H*

x

/ dw

, d2w

, \ ,

T

1

dw

,

< и

( dw

,

d"w

, \

,

n

х Ы +

^ а

х ) а

у ~ н

^ а

х

+ н

Л ^ +

^ а

у

г х

^

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3.49)

 

^МІ

= — My dx + ^ My + - Ä

dy j

dx—mx dy +

 

+ (mx + ^

dx}

dy-

 

[Ç,y+^dyyxdy

 

 

+ Qx

 

dy^L-

-(Qx

+ ^dx^+{q+r)dxdy*L

 

 

 

+

 

Hvdxj?-dy-

 

 

 

- H

y ^

 

+ ^ d y y x d y

= 0;

 

 

(3.50)

91

92

Ѵуит) = Мхdy

— {Mx + -

^

dx] dy+ mvdx —

 

, +

 

dx + [QX+1£-d*)

 

dydx-Qedx^

 

d3.l

r!,,\

Иr*L

_

In J _ Л ЛУ Ли I?.

И

riii

 

+ ( Q v + J j i r

d y

) d x J

f

~ i q + r

) d x

ау~2—H*dlJ

Ü T d

x +

 

+ H(*?-+*2Ldx)dydx

j

 

= 0.

 

(3.51)

 

 

Ч

дх

дх2

J

 

V

'

После исключения бесконечно малых высшего порядка уравнения (3.49) —(3.51) будут:

^ -

+ ^—(q

+ r) + Нх

дх2

+ Н„ £ ± = 0;

(3.52)

дх

ду

 

 

 

ду-

 

 

 

дМу

,

дтх

 

Qy = 0;

(3.53)

 

 

ду

'

дх

 

 

 

 

"'J

 

 

 

ÊHh. +

 

ÈH]L-Qx

= o.

(3.54)

 

 

дх

 

ду

 

 

 

Сопоставляя уравнения (3.52) — (3.54) с уравнениями (3.29) — (3.31), отмечаем, что только лишь одно уравнение (3.52) отличается от уравнения (3.29). Если же в уравнении (3.52) положить

{ а +

+

#

— H,, - ^ - = (q - I - г)*,

w

' 1

х дх2

ѵ ду2

то оно приобретает формальное сходство с уравнением (3.29). Поэтому нет необходимости проделать снова все операции, ко­

торые проведены при получении уравнений (3.38,) (3.39), а по отмеченному сходству можно такие уравнения написать сразу:

а) при любом упругом основании

г.

д* w ,

п г - .

ді w , ^ ô4

w

г, d2w

j ,

d2w

DA

h 2-Do

U D,

 

H.:

дх2

H„ •

ду2

 

дх*

 

дх2ду2

ду*

-v

J

 

 

 

=

~(q

+ r);

 

 

(3.55)

б) при упругом основании с двумя коэффициентами постели

п

^ в і . п п

ô 4 i «

, r-, д* w .

I д2 w

. д2 w \

D,

b2Do

 

\-Do

h Ci w—c,

—

 

дх*

дх2 ду2

2

ду*

"V дх2

ду2 .1

 

-Hx^—Hvдх^--=-q(x,y). ду-

 

(3.56)

93

Смотрите также файлы