Файл: Киселев В.А. Расчет пластин.pdf

Положим, что

»(х.У)=

2

2 « m

n

s i n Ä s

i

n Ä ;

(3.57)

m =

I n = I

a

b

CO

CO

9(х,У)-=

2

2 ( 7 m n s i n ^ - s i n - ^

,

(3.58)

m = 1 n = 1

a

b

где

а

6

4

Г С

.

, .

/ д я * .

ПЛИ

.

/ 0

сп\

<?mn = —г

\ \Я (x, у) sin

sin —f-

(3.59)

ab

J

,)

a

b

Подставим

0

0

в

дифференциальное

уравнение

(3.56):

эти данные

о о

с о

2

2

Л Ы

ч - ) ( — )

ч — ) +

m = 1п = 1

+

м

+

в

+ с1 + « . ( ^ + = ^ )

W . ( f ) !

« , ( H ) ' ] x

.

/ля * .

пя у

X i

V i

•

т

п х

•

ппУ

X f l m n s i n

sin — f - =

2

2

— <7nmSin

sm — .

Приравняем одноименные

слагаемые

г-. ( тп \* . о п

/ тп \ 2 /' ЛП \ 2 , п

/ ля \ * ,

,

М ~ )

+ 2 Z 4 ~ ) ( ~ г ) +

D

4 ~ )

+ C l +

,

/ m 2

я 2

, п 2

я 2

\

,

„

f тп

\2

,

г,

f

пп

\2"|

. .

.

тпх .

ггяі/

.

т я х

.

ппи

X sin

a

sin—— = — q m n

sin

a

sin—-•.

b

b

Отсюда

amn=~Çmn-bmn,

(3 -6°)

где

6«» = D i [ - ^ y +

2D,(™L

^ - ) ' + " . ( т - Ѵ +

a

l

V

a

-l-ci

+ c2

/ня

Л 2

/

« я

у

•

„

,

« Я

№

(3.61)

+

Н И І

—

Выражение (3.60) пригодно и для расчета изотропных

пластин,

если полагать DX~D2

= D3 = D.

Сопоставляя (3.60) с (2.42), убеждаемся в их формальном сходст­

ве. При этом числители у них (2.43) и (3.59) совершенно

одинаковы

и лишь знаменатели (2.44) и (3.61) различны.

На основе такого формального сходства выражений (3.60) и

(2.42) все случаи, рассмотренные в

§ 11, пригодны и для расчета

ортотропных пластин при новых значениях Ьтп

по (3.61).

Для

пластин без

упругого, основания

надо

везде

положить

сх

— с2 = 0, а без

сил в срединной

плоскости

еще

положить

Цх

= Ну — 0.

Приводим

выражения

изгибающих

и

крутящих

моментов

и

поперечных

сил:

по

(3.21)

mn \

z

,

ПП

sin

mnx

.

nny

; (3.62)

m = 1 n = 1

sin

—

a

~~b~

по

(3.22)

CO

CO

я я

inn

\

.

тпх

.

ппу

+ Hi

;

(3.63)

m—1 л = I

sin

sin

—

по

(3.27)

CO

CO

пп

\

mnx

nnu

mx

= mu = — 2DB P

>,

2J

am „

cos

—

cos —-;

„ 1 = 1 ; i = 1

\

Я

/ V, Ь

(3.64)

no

(3.32)

OO

CO

/ЯЯ \ 3

D 3

( mn

nn

Qx = Di

2

S

a m n

X

л

a

a

b

m = I

=

l

X cos

mnx .

nny

(3.65)

sin

no

(3.34)

CO

CO

'nn \

3

t' mn \ 2

/ ня

Qy

= D2

S

2

amn

08

X

1

/ Я = i Л =

„ ,

•

mnx

cos

nny

(3.66)

X sin

по

(3.35)

ОО

оо

ш п \ з

Р , + 2 Р К Р

тл w то \2 '

ѴХ = А

2

2

X

я У

Di

~ J v T

т=1п=1

X cos

тл.ѵ-

.

/т.;/

(3.67)

sin —— ;

по

(3.36)

с о

с о

то \ з

D 3 - i - 2 D K P / т л \ 2 / то

2

2

X

m = l n = 1

„, . т л я

• COS

пли

(3.68)

X Si n

—

§

20. Расчет пластин, шарнирно опертых по двум

противоположным сторонам, при любых опираниях

двух других сторон и лежащих на упругом

основании

с двумя коэффициентами

постели (см. рис. 33)

Дифференциальное

уравнение

прогибов

пластины

с о

q(x,y)-=

2J qm ІУ) sin

тпх

(3.71)

где

а

qm(y)=—\q

(х, у) sin - ^ -

dx.

(3.72)

a

J

а

о

Подставляя (3.70) — (3.71) в

уравнение

(3.69),

получим

2 (А ( ^ V Ym-2D,

(^YYl'n

-1- А У - Г - С і У т -

m = 1

К такому

же дифференциальному уравнению (3.73) придем при

скользящих

заделках

сторон

пластины

при

х — 0

и

х = а

[см. (2.102)] только с заменой

qm (у) на

qm (у),

определяемой

по

(2.100).

Выражения моментов и поперечных

сил приводятся

в табл. 5,

которая

является обобщением

табл.

2,

ибо

последняя—част­

ный

случай

первой,

если

полагать

D 1 =

D 2 = D 3 =

D

и

е =

е =

2 — JX.

при новых значениях ат и Кт,

определяемых

по (3.74) — (3.75).

Корни характеристического уравнения (3.73) 1см. (2.108),

(2.109)3:

г* = —гг

= Ѵ*т+Ѵа&—П,\

(3.76)

' 8 = - ' «

= /

« ! ! . —

•

<3.77)

тин, где и были получены основные функции Fx (у), F2

(у), Fs

(у) и

F4 (у), удовлетворяющие единичной матрице [см. (2.119) — (2.122)1.

Повторим их

запись здесь:

' Fi (У)

= eh ß m у cos ут у~ f-y*m

sh ß m у sin Y r o

у;

(3.78)

4 Зак. 109

97