Файл: Киселев В.А. Расчет пластин.pdf

Dx

=

D 2 = Dg = D; D„p =

D (1 — p) и e = i =

2 — ц,.

На этом основании все примеры, приведенные в главе изотроп­

ных пластин, легко приспосабливаются и для расчета

ортотропных

пластин путем замены в них D на D2 и и. на

\іх.

2-й

случай а £ > 0 ; а * , > Я . * , > 0

Корни

характеристического

уравнения

(3.76) — (3.77)

дей­

ствительные:

+ Уа*т—Х*п ;

Г1 = У<

г3 = Ѵат~Уаіт~

Кт.

Общее

решение однородного

уравнения

(3.73) будет:

Y m (у) = Ат

ch i\ у + Вт

sh rx у + Ст

ch r3 y + Dmsh

г3 у.

(3.96)

2 Ya,m- С

2 / a ^ - C

'

L 2 (у) =

rlshrxy

.

rfshr3y

2rx[ atn—bm

2г3У^-К

L3(y)=

Z*^L=

pIiS—.

L i (y) =

s h r i y

—

s h r s U

2rxY

aîn-Кт

2r3Va.m—Xm'

где

1~\f a4,(—%fn

=

r\-—Г3.

Эти новые функции

аналогичны функциям Fx

(у),

F2

(у), F3 (у)

и ?4 (у) и обладают их свойствами.

Они

при ат

>

Хт

> 0 заме­

няют во всех выражениях

(3.82) — (3.95) первого основного случая

функции Fx

(у), F2

(у),

F3

(у) и Fi

(у), и все выражения

становятся

пригодными

и для

2-го случая.

3-й

случай

a m ^ 0 ;

A m < 0

Корни характеристического

уравнения:

rt

=

— г2

=

У ат

- f |/"am — А,т

(вещественные),

?*3 = —г4

= ] / а т

— ]Лхт —А.ш ]

= іг3

(мнимые),

где

Общее решение однородного уравнения (3.73)

Y°m (у) = Ат ch Г! у + ß n i

sh гх у + C m cos г"3 у + D m sin73 у. (3.97)

Функции,

заменяющие

в

выражениях

(3.82)—(3.95) основного

случая

функции Fx(y),

F2(y),

F3{y)

и F4{y),

будут:

2

,

- 2

'

2 ,

- 2

^

_

_rj»_sh/i

;

n_sin/-s j/

r i

( п +

гз)

г 3 ( п 4 - л і )

Тз

(У) =

.

-о

( c h ri У—cos r3 y) ;

П +

/ і М + гз)

г 3 ( п + 7 з )

где r ï + 7 | = 2

/ а * , —Я,*,.

4-й

случай

a m < 0 ;

Я т > 0 ;

a m >

Xm

Корни

характеристического

уравнения:

r1 = —r2

= V

a ^ - f / a à —

A4

=//"і

(мнимые);

г3 =

—r4

= l / " a m _ j

a,4n — A4

= tr 3

(мнимые),

где

rx = V—a2m~Y<—

Кг

;

r3 = V-a-m+-}

a m ~ K .

Общее решение однородного

уравнения

У°т(у) =

^ m

cos r i t/ +

Bm

sin ?! y - f C m

cos rsy + Dm sin r3 1/. (3.98)

Вместо функций Рг

(у), F2

(у),

F3

(у) и FA

(у) основного случая

•в выражениях

(3.82) — (3.85)

будут

функции:

/•3COSrj(/

.

Г l cos г3

у

— 2

—2

— 2

—2

гі—лз

гі— гз

о

/ , л _

r i s i n g

,

nsin/-8 i/

^(гі —лз)

г3 (п—гз)

S3

(У) = — -а * - 2

(cos /-! у cos г3

у);

п — гъ

s4

(у) =

sin гх у

,

sin г3

у

- /-а - 2 \

-

/ - 2

- 2 \

где

5-й случай

с с т < 0 ;

Я,*, >

0;

А,,"„ = о с ш

> 0

Корни характеристического

уравнения:

6-й случай а 2 , > 0 ; \ т

—ат>0

добавить инерционные силы т*

где т* — масса пластины и

1 од:4

3

дх2 ду2

2

ai/4

дх2

ѵ

ду*

4- с. ш) — Со

d-w , d2w \ ,

3 2 ш

1

Ч- m

1

- ^дл:2

ду* )

dt2

=

—q(x,

y){AsmQt

+ BcosBt).

(3.99>

w (x, у,

f) =

w (х, у) (A sin

Qi +

В cos

Ѳ/).

(3.100)

Подставляя

(3.100)

в (3.99),

получим

1

дх*

3 дх2

diß

2 ду*

дх"-

J

diß

+ c \

w - c J ^

+ ^ \ =

-q(x,y),

(3.101)

дх2

dtf-

где

c î = d — / я * Ѳ .

(3.102)

действующей

вибрационной

нагрузки

следует считать неизвест­

ной частотой

собственных колебаний

со или нагрузки

НхиНу —

критическими,

подлежащими

определению. При этом

множители