ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 03.08.2024
Просмотров: 100
Скачиваний: 0
Представим уравнение (4.5) в развернутом виде, учитывая, что оператор L линейный:
|
ab |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-Я |
£ |
Ф і - Л я |
- |
^ |
- |
|
|
- |
^ - |
+ |
d\ Ф і |
- с , |
Ѵ Ф |
і ] фА dxdy |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
ѵ |
ду2 |
|
|
|
|
|
|
||
|
о о |
|
а Ь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ff* ф 2 |
|
„ |
<Э2 |
ф 2 |
|
|
|
|
||
|
+ "'Я |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
d*2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
О О |
|
|
|
|
Я |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Х ф ь ^ у + |
.-. + |
а,, |
|
|
|
дх- |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n о |
|
|
a |
b |
|
|
|
|
+ С ! Ф Й |
- С |
2 Ѵ2 ФЙ |
]<pkdxdy+...+an |
|
Jj*[Дф - Н х д - ^ - - Н у |
^ + |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 0 |
|
|
|
" |
|
|
4- с*Ф„—с2 Ѵ2Ф„1 Ф й с Ы # 4 - ^q(x, |
y)yhdxdy=0. |
'(4.6) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о 0 |
|
|
|
|
|
Это же |
уравнение |
в |
канонической |
форме |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
ai + ch2 |
a2 |
+ ...+chn |
cn+Chp |
= 0 |
|
(4.7) |
||||||
при |
k — 1, |
2, ... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь по |
(4.6) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
a ь |
L<pt-H\ |
^ |
- |
|
- |
H |
v - ^ Ï L + |
C f Ф г |
- с 2 |
Va Ф |
| ] Ф й |
(4.8) |
|||
- = |
яо о |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
b |
|
|
|
|
|
|
(4.9) |
|
|
|
|
|
Chp |
= \\a{^ |
|
y)q>hdxdy. |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
о 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Покажем, что если функции фг в (4.3) удовлетворяют всем гра ничным условиям пластины, то коэффициенты канонических урав нений (4.7) обладают взаимностью, т. е. см = сі1{. Для этого рас смотрим две функции фг и Ф л , удовлетворяющие, при соответст вующих им нагрузках qt и qh, дифференциальному уравнению (4.1):
L |
^ - H |
x ^ — H v ^ |
+ |
с 1 Ф г _ С 2 Ѵ 2 Ф г |
= -<?г (*,У); |
(4.10) |
bth-Hx |
^ |
Ж - Н ^ + с |
^ ъ |
- с , Ѵ а Ф , = |
- д й ( х , у). |
(4.11) |
Теперь по (4.8) а учетом (4.10), (4.11) может записать:
и b |
|
|
сы = \\ — ЯІ(Х, |
y)yhdxdy\ |
(4.12) |
a b |
|
|
et* = \ \ — qh(x, |
y)fptdxdy. |
(4.13) |
Выражение (4.12) можно толковать как работу нагрузки qt на перемещениях ц>к, а выражение (4.13), наоборот, как работу нагруз ки qh на перемещениях ср,-. Эти работы по теореме взаимности работ должны быть равны, а потому
chi = Cih- |
(4.14) |
Если в частном случае выражение (4.3) дает точно упругую поверхность пластины w (х, у), то (4.4) не будет содержать ошибки и канонические уравнения (4.7) дадут нам точные значения коэф фициентов at. Покажем это на примере шарнирно опертой по всем четырем сторонам пластины. Здесь (4.3) точно:
*»(х> У)= 2 |
2 |
a m n S i n - ^ s i n Ä . |
(4.15) |
m = |
1 п = |
I |
|
В этом случае получим бесконечное число канонических уравне ний (4.7), но каждое из них будет содержать только одно неизвест ное ak, так как все побочные коэффициенты ekt будут равны нулю. Для доказательства применим условную запись функций, полагая:
а„ = |
amn; |
cpft = |
sin |
тлх |
. |
пли |
sin —f- ; |
||||||
|
|
|
|
a |
|
о |
а г = |
ат »п»; |
(рг = |
. |
m* лх |
. |
п*лу |
5іп |
|
sin |
— |
|||
По формуле (4.8)
о о L
. |
пг пх |
|
|
тлх , плд j j |
sin |
|
sin |
b J |
— sin—?-dxdy. |
\ а 2 |
|
|
a |
|
|
|
|
|
В |
силу |
|
ортогональности |
тригонометрических |
|
функций |
ви = 0. |
||||||||||||||||
По |
той |
|
же |
формуле |
(4.8) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
, „ |
/ |
о |
о |
, „ |
/ |
ц п \ 2 , |
|
, |
. ' т |
|
з т зт |
,n |
nяjt |
\")\T - |
mnx |
|
||||||
|
m i t \ 2 |
e |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
2 |
2 |
|
2 |
2 |
2 |
Sin |
|
м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X sm —— \ sin |
|
sin —— dxdy. |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
) |
|
a |
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
После |
интегрирования |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
ab |
Гг-. / |
mn |
"И |
, О Г |
1 |
/• mn |
\ 2 |
|
/ л л \ 2 |
|
|
|
/ |
rm\* |
, |
|
|||
|
с |
» * - т И ~ ) |
+ |
2 |
М ~ ) ( T ) + D ' ( T ) + |
|
- |
||||||||||||||||
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
,4.16) |
|
Канонические |
уравнения |
(4.7) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
при |
|
k = 1, |
2, ... |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Отсюда |
получаем |
|
|
|
|
a fr |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mux |
|
|
|
nit;/ |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г f |
q (x, |
у) |
sin |
sin |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
п. |
|
|
— \ \ |
|
|
— — dxdy |
|
|
|||||||||
|
oft |
= a m n = |
- |
= |
J J |
|
|
|
|
|
a |
|
b |
|
• |
(4.17) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Это выражение совпадает |
G ранее полученным значением коэф |
|||||||||||||||||||||
фициента |
am 7 i |
(3.59) — (3.61), |
и |
решение |
(4.15) |
будет точным. |
|||||||||||||||||
|
Если же в (4.15) ограничиться конечным числом членов, то и при |
||||||||||||||||||||||
точных |
коэффициентах атп |
решение будет уже не точным. Иногда, |
|||||||||||||||||||||
вообще, в качестве первого приближения задают всего одну функ
цию |
ф! (х, |
у) и тогда имеют |
одно |
каноническое уравнение |
(4.7): |
|
|
|
с п О і |
+ С1Р |
= 0. |
(4.18) |
|
В |
этом |
случае особенно важно, |
чтобы функция |
cpj (х, у) |
была |
|
как можно больше «похожа» на ожидаемую упругую поверхность пластины w (х, у ) , иначе результаты даже для первого приближения могут оказаться ненадежными.
Все приведенные ранее в этом параграфе выражения могут быть применены и для расчета изотропных пластин, если в них положить
Eh3
Di = D 2 = Ds = 1 2 ( 1 «) и оператор L = ѵ а Ѵа-
Покажем применение уравнения (4.18) на простом примере изот ропной шарнирно опертой по четырем сторонам пластины о равно-
'120
мерной |
|
нагрузкой. |
В |
качестве |
«похожей» функции принимаем |
||
. |
\ |
|
пхкх . |
лили |
т. e |
|
|
фх (х, у) = |
sin —— sin -—f-,f |
|
|||||
|
|
|
а |
|
о |
|
|
|
|
|
w |
, |
, |
. |
nx . ny |
|
|
|
(X, |
y) » |
ax sin |
sin — _ |
|
Эта функция удовлетворяет граничным условиям и имеет одно |
|||||||
значную |
кривизну, |
что и определяет ее сходство с ожидаемой по |
|||||
верхностью |
пластины. |
|
|
|
|||
По |
формулам (4.16), (4.17) получим |
||||||
ах |
= 16g: n2D |
( f N i ) I |
|
Для квадратной пластины |
ах |
= ^ ^ - = 0,00416 ~ (по табл. 1 |
|
Яаі\ |
|
|
|
ах = 0,00406 — I . |
В данном |
случае получено хорошее приближе |
|
ние. Если в выражение для w (х, у) включить еще одну подходящую функцию, то решение получится точнее. Надо, однако, заметить, что приближение изгибающих моментов к точным их значениям не
сколько хуже, |
чем приближение |
прогибов. |
Если задать функцию срх (х, у) = |
sin —^- sin —^, которая хотя |
|
и удовлетворяет |
граничным условиям, но не «похожа» на ожидае |
|
мую упругую поверхность пластины, поскольку она кососимметрич-
на, а задача симметричная, то значение |
коэффициента |
ах будет |
равно нулю. |
16 |
|
|
|
|
Если же задать функцию срх (х, у) = |
х (а — х) у |
(Ь — у), |
удовлетворяющую кинематическим граничным условиям, но не удов
летворяющую статическим, по однозначной кривизне |
«похожую» |
|||
на |
ожидаемую упругую поверхность пластины, |
то |
получим |
|
ах |
— qa?b2 |
: 128/3. Для квадратной пластины ах = |
0,0078 цф : D |
|
с |
большим |
отклонением от точного значения. |
|
|
§ 24. Метод Лагранжа — Ритца
Метод основан на свойстве полной потенциальной энер гии системы иметь в устойчивом равновесии локальный минимум.
Полной потенциальной энергией системы называется работа внешних и внутренних сил при переходе системы из деформирован ного состояния в недеформированное
U = T + W, |
(4.19) |
где Т — работа внешних сил; W — работа внутренних сил, равная упругой энергии системы V.
5 Зак . 109 |
121 |