ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 03.08.2024
Просмотров: 85
Скачиваний: 0
§ 21. Расчет прямоугольных пластин, по-разному опертых по всем четырем сторонам
Рассматриваются пластины, имеющие шарнирные опирания и заделки. Метод решения проследим на пластине с защем-
.ленной стороной х = 0 (рис. 54, а). Решение проводим по методу сил. За основную систему принимаем пластину, шарнирно опертую по всем сторонам (рис. 54, б). Неизвестные,опорные моменты по краю X — 0 раскладываем в ряд
|
с о |
|
|
Мх(у) = |
2 |
CÄsinüM . |
(3-103) |
- |
п = 1 |
b |
|
Каноническое уравнение перемещений по освобожденному от за
щемления краю |
пластины |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
+ ( ^ - ) |
|
= 0 . |
.(3.104) |
||||
|
|
дх /от Mxj |
|
\ |
дх |
/от q |
|
|
|
||||
Используем готовые решения для пластины, шарнирно опертой |
|||||||||||||
по четырем сторонам в двойных |
|
рядах |
(см. 3.57) — (3.61): |
||||||||||
|
|
|
о о |
с о |
|
|
|
|
тлх |
|
. |
пли |
|
|
/ |
\ |
V I |
V I |
|
|
|
• |
|
||||
|
t |
v i |
v |
|
|
|
|
sin |
Ь* |
||||
|
w(x, |
у = |
. у |
у |
|
|
a„,„sm |
|
а |
|
|||
|
(х, |
у)= |
= |
1 Zn = |
|
1 ™ |
|
~^~ |
|
|
|||
|
|
|
m- 2 |
|
s m |
s |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
_ |
o o |
с о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
aw |
v i |
v |
|
mn |
тлх |
|
• |
пли |
||||
|
— = |
У |
> |
атп |
a |
cos |
a |
sin — J ~ |
|||||
|
дх |
m=1n=1 |
|
|
|
|
|
|
b |
||||
При X = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
с о |
с о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i r = |
2 2 |
a |
™ ~ s |
i n |
4 - |
( З Л 0 5 ) |
||||||
Здесь |
|
m = |
I n = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
fl»» |
= - |
ï ™ r ' L |
по |
(3.60), |
|||||||
где определяют: c7mn по (3.59), |
|
ЬПп |
по (3.61). |
|
|||||||||
От неизвестных моментов по (2.83) имеем |
|
||||||||||||
|
|
|
атп |
= 2птС%:Ьтпа\ |
|
|
|
(3.106) |
|||||
Подставляя (3.105) в уравнение (3.104) с учетом (3.106), получим |
|||||||||||||
с о |
с о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- — • —— sin —— + |
|
У |
> |
am 7 l (от q) — sin —— = 0. |
||||||||
т= |
i п=1 |
|
|
|
m = 1 |
п = 1 |
|
|
|
|
|
113
'y)
s)
Рис. 54 |
Рис. 55 |
Умножим это равенство на sin ^~ |
dy (где п конкретное, а не |
текущее) и проинтегрируем от нуля до Ь:
СО |
с о |
|
/гад \ . «я« , |
J |
2 , |
1 n = |
2 |
^ |
- |
г |
8 Ш |
— — 1 sin — — ау- |
|
|||
0 |
\ m = |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
^ |
I |
с о |
о о |
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
+ |
|
2 |
2 |
a »»<0 T »> |
sin |
- ^ j s i n Ä |
А/ = 0. |
|||||
0 \ m = l |
n = l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Учитывая |
свойство |
ортогональности, см. (2.82), |
будем иметь |
|||||||||
|
|
|
2я/пСп |
mit |
6 . |
|
|
тп |
b |
п |
||
|
от= |
1 |
|
|
|
|
|
m = 1 |
|
|
|
|
отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tnamn |
(от с) ï 2я |
m a |
|
(3.107} |
|
|
|
|
|
|
m = 1 |
|
|
|
m = 1 |
|
|
|
В частном |
случае |
от |
равномерной |
нагрузки |
было получено |
|||||||
(см. стр. 31). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
_ |
4<7 |
(1—cos тп) (1—cos пп) |
|
|
||||
|
|
|
|
я 2 |
тп |
|
|
Ьтп |
|
|
|
114
Подставим в (3.107)
Сп* '• |
|
4q (I—cosmst) |
( 1 — cos пп) |
, 2п |
|
|
|
||||
|
т= 1 |
|
П2 |
nbmn |
|
а2 |
2А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
т~1 |
и |
т п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
После преобразований |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
2qa2 |
(1 — cos пп) |
^ |
[U — cos т я ) : 6 m n ] |
|
|
|
|||
г* |
_ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ПП3 |
2 |
№-Ьтп) |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
т= 1 |
|
|
|
|
|
|
Учитывая, |
далее, что при m = 2, 4, ... и |
п. = 2, |
4, |
... (1 — |
|||||||
— cos mn) = |
0 и (1 — cos пп) |
= |
0, окончательно получим, |
||||||||
С* — |
Sqa2 |
о о |
|
j |
|
ОО |
|
|
|
(3.108) |
|
|
2 |
|
&„,„ |
2 |
|
|
|
||||
|
|
|
о, |
о |
|
|
|
||||
|
|
|
. m = 1, |
о |
ш = |
1, о, |
|
|
|
||
После определения |
С,* опорные |
моменты получим по (3.103). |
|||||||||
Аналогично проводится расчет и на другие нагрузки. |
|
|
|||||||||
Если пластина имеет несколько заделок, то надо составить |
|||||||||||
столько же канонических уравнений, |
которые в этом случае будут |
||||||||||
сложнее уравнения (3.104) за счет |
взаимного |
влияния |
опорных |
||||||||
моментов на углы поворота. Естественно, что расчет таких |
пластин |
значительно сложнее рассмотренной. Можно расчет проводить и последовательно, приняв, например, пластину с одним защемлением в качестве основной системы для расчета пластины с двумя защем лениями, и применить далее, что было изложено здесь.
§ 22. Понятие о расчете пластин,
лежащих на упругом полупространстве
Просадка полупространства от сосредоточенной силы Р определяется по формуле (1.17)) (рис. 55, а):
к,* = р ; Е*Г, |
(3.109) |
|
где Е* = пЕ0 : (1 — [A2,); ßQ и ^ о — соответственно |
модуль упру |
|
гости и коэффициент Пуассона основания. |
|
|
Обозначим, как и ранее, через г (х, у) давление от пластины |
на |
|
основание в точке k с координатами х и у. |
|
|
Рассмотрим некоторую точку основания с координатами х = |
\ и |
у = т] в пределах пластины (рис. 55, б). Бесконечно малая сила на площадке d£,dr\ в этой точке будет
dP = г (g, r\)dldr\.
115
Бесконечно малое перемещение от нее в точке k основания с ко ординатами X и у
dw* (х,у) = |
' в ' |
. |
|
£ * V ( * - ! ) 2 + ù / - ' n ) 2 |
|
Полное перемещение точки k основания от всей неизвестной на грузки г(х, у)
{ж, у) = |
і |
. |
(3.110) |
J |
J |
JS*V |
(у-т,)» |
Это перемещение основания должно быть равно прогибу пла стины, определяемому из дифференциального уравнения
D l |
+ |
2D3-*ÜL |
+ |
|
Dn-^_Я;сÜÜL_ |
|
|
1 |
ox* |
3 <ЭА-3ОГ/2 |
|
ду* |
x |
дх2 |
|
|
-НУ-^~-=~ІЯ(Х, |
|
У) + |
Г ( Х , |
y)]. |
(3.111) |
В это уравнение также входит неизвестная реакция упругого основания.
Таким образом, расчет пластины, лежащей на упругом полу пространстве, сводится к совместному решению уравнений (3.110) и (3.111). Решение этих уравнений представляет значительные ма тематические трудности. С подробностями расчета читатель может ознакомиться в монографии М. И. Горбунова-Посадова [16].
Г л а в а 4
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ОРТОТРОПНЫХ И ИЗОТРОПНЫХ ПЛАСТИН, ЛЕЖАЩИХ НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ
СДВУМЯ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ПОСТЕЛИ
§23. Метод Бубнова — Галеркина
Дифференциальное уравнение изгиба ортотропной пла стины на упругом основании с двумя коэффициентами постели в об щем случае при вибрационной или статической нагрузке запишем по '(3.101) в таком виде:
ох |
-Ну~- ду2- |
+ c\w-c0y*w |
|
+ q(x, у)=0, |
|
(4.1) |
||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
I = D |
, — + 2 D 8 |
— + A» — |
— |
(4.2) |
||||
1 |
дх* |
|
дх*ду°- |
2 |
ду1 |
|
ѵ |
' |
линейный оператор.
116
Будем искать приближенное решение уравнения (4.1) в виде
ряда функций фг (х, у) с неопределенными |
коэффициентами at. |
п |
|
У ) 4 » 2 ЩЧі(х, у)- |
(4.3) |
І= \
Произвольные функции этого ряда должны удовлетворять гео метрическим и статическим граничным условиям пластины, а коэф фициенты at подбираются по некоторым соображениям хорошего его приближения к действительно упругой поверхности до (х, у). Кроме того, функции фг (х, у) должны быть «похожими» на ожидае мую упругую поверхность пластины. Так, например, в симметрич ных случаях относительно двух или одной оси симметрии эти функции также должны быть соответственно симметричными. Иначе включаемая в общее выражение произвольной функции кососимметричная часть будет только искажать симметричную картину пере мещений, если соответствующие коэффициенты аг отличны от нуля.
При расчете симметричных пластин бывает удобно разложитьвнешнюю нагрузку на симметричные и кососимметричные состав ляющие и расчет пластины проводить на каждую из нагрузок в от дельности, назначая соответственно нагрузкам «похожие» функции.
В общем случае при двух осях симметрии нагрузка расклады вается на симметричную относительно двух осей, симметричную относительно одной (первой) и кососимметричную относительно второй оси, симметричную относительно второй и кососимметричную относительно первой и кососимметричную относительно двух осей.
Подставляя приближенное решение (4.3) в дифференциальное уравнение (4.1), получим левую часть ее, отличную от нуля, которая- и определяет ошибку решения
лп.
-fei 2 в | ф | — c 2 |
V a 2 |
0гФг + |
<7(*. У)фО. |
(4.4)- |
|
J = I |
;=ï |
|
|
|
|
По методу Бубнова — Галеркина так |
подберем |
коэффициенты' |
|||
а, в (4.3), чтобы эта ошибка |
(по условию минимума |
ошибки в сред |
|||
нем) была ортогональна к любой |
функции фй (х, у) |
из этого |
ряда. |
||
Для записи ортогональности |
умножим (4.4) на функцию срА (х, у) |
и составим интеграл по всей площади пластины, а результат при равняем нулю:
1= I |
• |
/= |
I |
<= ! |
|
л |
|
п |
|
|
|
+ с:\ 2 |
a, q^—c, |
2 аі |
Ѵа Фг+<7(*, |
y)\<phdxdy=zO, |
(4.5) |
где k = 1, 2, |
п. |
|
|
|
|
117