Файл: Шахнович, А. Р. Математические методы в исследовании биологических систем регулирования.pdf

равны, то это число выражает некоторое свойство фигуры, сохра­ няющееся при гомеоморфных отображениях, это число является топологическим инвариантом.

Рис. 8. Пример топологических представлении

Если для фигур А и В соответствующие им числа оказываются различными, то эти фигуры не могут быть гомеоморфными между собой. К простым топологическим инвариантам можно отнести число компонент (применительно к буквам). Буква Ы состоит из двух «кусков», а ГІ — из одного «куска». Но число компонент — топологический инвариант, т. е. Ы и П не гомеоморфны.

Разбивающие точки: такие, у которых удаление сколь угодно малой окрестности создает несвязную фигуру. Этим свойством обладают центральная точка «восьмерки» и концевые точки отрез­ ка. Окружность не содержит разбивающих точек.

Число разбивающих точек фигуры — топологический инва­ риант (число неразбивагощих точек — тоже).

Индекс точки — число дуг, сходящихся в данной точке. На­ пример, в фигуре буквы Ж крайние точки имеют индекс 1, точки соединения двух лучей — 2, а центральная точка — 4. С помощью понятия индекса точки можно доказать негомеоморфность букв 10 и Ф.

Уникуреальность фигуры определяется возможностью пройти ее всю непрерывным движением, не проходя дважды одной и той же дуги.

Этот топологический инвариант выражается через понятие индекса точки следующим образом: фигура тогда и только тогда уникуреальна, когда она либо совсем не содержит точек нечетного индекса, либо содержит равно две такие точки.

Плоской является фигура, если она гомеоморфна некоторой фигуре, лежащей в плоскости.

Таковы простейшие топологические инварианты.

Еще одно определение. Фигуры, состоящие из конечного числа дуг, называют графами. Граф можно определить так: имеется ко­ нечное число точек (вершины графа), некоторые из которых соеди­ няются непересекающимися дугами (ребра или звенья графа). Две вершины графа можно соединить несколькими ребрами, реб­ ра могут начинаться и кончаться в одной и той же точке (замкну­ тые ребра).

Пример графа приведен на рис. 9.

Числа частей, на которые плоский граф разбивают, не зависит от его расположения па плоскости.

Теорема Жордана.

Всякая простая замкнутая кривая на плоскости (кривая, гомео-

69

морфная окружности) разбивает плоскость на две области (внут­ реннюю и внешнюю).

Теорема Эйлера формулируется следующим образом.

Для всякого многогранника, поверхность которого гомеоморфпа сфере, а каждая грань гомеоморфна многоугольнику, имеет место соотношение:

В - Р + Г = 2,

где В — число вершин; Р — число ребер; Г — число граней. Эта теорема утверждает, что для поверхности, гомеоморфной сфере, эйлерова характеристика не зависит от выбора разбиения на мно­ гоугольники, а определяется самой поверхностью, являясь ее то­ пологическим инвариантом.

Рис. 9. Пример топологических представлегшіі

Рис. 10. Пример топологических представлений

Рассмотрим в качестве примера фигуру, полученную из сферы вырезыванием из нее нескольких круглых отверстий («дырок») (рис. 10). Если к разбитой на многоугольпики фигуре добавить-все круги, которые вырезаны из сферы для получения фигуры, то по­ лучится разбиение на многоугольники всей сферы. Обозначив число вырезанных дырок через q, получим, что эйлерова характеристика фигуры

В -Р + Г = 2 - g

независимо от способа разбиения на многоугольники. Эйлерова характеристика, будучи топологическим инвариан­

том любой фигуры, имеет большое значение, так как, выбирая любое разбиение фигуры на многоугольники, можно выбрать самое простое.

Другой пример применения теоремы Эйлера.

Пусть 4 і и 4 2 - две фигуры, каждая из которых имеет край, гомеоморфный окружности. Соединив края этих фигур, получим новую фигуру. Эта операция называется «склеиванием». Эйлерова характеристика суммарной фигуры оказывается равной сумме эйлеровых характеристик Аг и А2. Это можно легко проверить, ес­ ли разбить эти фигуры на многоугольники так, чтобы окружности

70

оказались разбитыми на одинаковое количество равных дуг, и при склеивании совместить вершины с вершинами, а ребра с реб­ рами.

Обозначив через m число вершин (т. е. число ребер) на каждом

Поверхностью называется фигура, у которой каждая точка имеет окрестность, гомеоморфиую кругу.

Иногда рассматривают «поверхности с краем», т. е. фигуры с краями, но без разветвлений. Поверхностью с краем является круг, сфера с вырезанными дырами.

Одним из интересных примеров поверхности с краем явля­ ется лист Мебиуса — поверхность, имеющая только одну сторону. Она получается из длинной гибкой ленты прямоугольной формы, которая один раз перекручивается и концы ее склеиваются. В каж-

Рнс. 11. Пример топологических представлений

дой точке листа Мебиуса (а) можно провести два взаимно проти­ воположных вектора, перпендикулярных в этой точке поверх­ ности (см. рис. 11).

Эйлерова характеристика листа Мебиуса равна 0. Поэтому за­ клеивание дыры листом Мебиуса не меняет эйлеровой характери­ стики фигуры.

Рассмотрим основную теорему топологии поверхностей — теоре­ му о топологической классификации поверхностей. Задача топо­ логической классификации поверхностей состоит в том, чтобы указать ряд замкнутых поверхностей, которые были бы попарно негомеоморфны между собой и обладали тем свойством, что любая замкнутая поверхность гомеоморфна одной из них, т. е. нужно пе­ речислить все топологические различные замкнутые поверхности.

Если Р0 — сфера, Рр — сфера с р ручками, Np — сфера с р дырами, заклеенными листами Мебиуса, то полная топологическая

71

классификация замкнутых поверхностей имеет вид

Здесь перечислены все топологически различные типы замкнутых поверхностей.

Ознакомившись с элементарными понятиями топологии, рас­ смотрим основные положения одного из двух ее основных разде­ лов — теоретико-множественной топологии.

О п р е д е л е н и е . Изоморфными называются две геомет­ рические системы, если можно установить между основными элементами этих систем взаимно однозначное соответствие, а также

имежду основными отношениями этих систем так, чтобы когда эле­ менты одной системы вступали между собой в определенные от­ ношения, то элементы другой системы вступали бы в соответству­ ющие отношения.

Пр и м е р и з о м о р ф и з м а . Элементы системы — точки

ипрямые, лежащие в горизонтальной рлоскости, элементы систе­ мы — вертикальные прямые и вертикальные плоскости. Если основное отношение между элементами этих систем выражается словами «лежит на» (точка —'на прямой, прямая — на плоскости),

то можно легко видеть, что эти две системы изоморфны, поставив в соответствие каждой точке прямую, проходящую через эту точ­ ку (аналогично прямая — плоскость), получаем взаимооднознач­ ное соответствие.

Топологическое пространство является одним из основных по­ нятий топологии. Множество Я любых элементов (точек) называ­ ется топологическим пространством, если для каждого его под­ множества А указано, какие точки являются близкими к А (близ­ кими называются множества, расстояние между которыми равно

=А (замыкание множества совпадает с А).

Из этого можно сделать важный вывод о том, что всякое мно­ жество содержится в своем замыкании.

Е щ е о п р е д е л е н и я . Окрестностью точки а в топологи­ ческом пространства R называется любое множество ѵ, для которо­ го дополнительное множество (совокупность точек, не принадле­ жащих к ѵ) не близко к точке о. Точка х называется внутренней точкой множества М, если множество является окрестностью этой точки.

72

Множество G называется открытым, если все его точки являются внутренними. Точка является граничной точкой множества в про­ странстве, если она не является внутренней точкой ни самого мно­ жества, ни его дополнения. Замкнутым называется множество F, если оно содержит_все близкие ему точки; F совпадает со своим замыканием: F — F. Отсюда можно найти связь открытого и зам­ кнутого множеств: если множество G открыто, то его дополнение замкнуто: F = GIB, и наоборот.

Линии представляют собой определенный класс фигур — то­ пологическое понятие. Один из возможных подходов к описанию линии (линия есть след движущейся точки) позволяет рассматри­ вать ее как упорядоченную совокупность точек. При этом суще­ ственна последовательность, в которой точка проходит различные положения, так как пути точки по одному и тому же множеству могут быть различны (например, при написании буквы Ф). Путь в пространстве представляет собой непрерывное отображение еди­ ничного отрезка 0,1 в пространстве.

Одна и та же линия с самопересечением может быть представ­ лена в виде пути по-разному (см. рис. 12, а, б, в, г). Путь может проходить через все точки множества, имеющего площадь, т. е. путь может заполнять всю площадь.

Обычно считают, что каждый участок линии рассекает плос­ кость, а плоскость примыкает к линии «с двух сторон». Так ок­ ружность, рассекая плоскость на внутреннюю и внешшою об­ ласти, является границей этих двух областей. Линия называется

Фигура нульмерна, если в пей не существует никакой связной фигуры, содержащей более одной точки (т. е. нульмерная фигура рассыпается на отдельные несвязанные точки).

Фигура X имеет в точке а размерность п, если выполнены условия:

1) в любой малой окрестности точка а в фигуре X можно найти (п — 1)-мерную фигуру А, отдаляющую точку а от всех точек фигуры X, лежащих вне окрестности;

2) для достаточно малой окрестности такое отделение невоз­ можно произвести с помощью фигуры, имеющей меньшую, чем

73

Рис. 13. Пример топологических пред­ ставлений

(п — 1) размерность. Иначе, если фигура имеет в некоторых своих

точках размерность п, но ни в каких точках не имеет большей размерности, то X есть /г-мерная фигура. Так, точка нульмерна, прямая одномерна, плоскость двумерна и т. д.

Еще одно определение. Фигура Z называется топологическим произведением фигур X и Y, если Z можно рассматривать как мно­ жество всевозможных пар (х, у), где х — точка фигуры, X, у — точка фигуры Y. Каждой точке фигуры Z должна соответствовать пара (х, у), и различные пары должны соответствовать различным точкам фигуры Z. Идеальным примером является сфера с нане­ сенной на нее сеткой географических координат. Искомая точка сферы определяется произведением (х, у). Обратимся теперь к другому основному разделу топологии — комбинаторной топо­ логии. Выше было введено понятие пути как непрерывного ото­ бражения единичного отрезка в пространстве. Если точка х, не­ прерывно двигаясь, описывает путь h от х0 до а^, то, непрерывно деформируя этот путь (при неподвижных концевых точках), по­ лучим другой путь

Гомотопными между собой называют два таких пути hx и й2 , один из которых при помощи деформации моя^ет быть превращен в другой. Например, в круге любые два пути гомотопны между

Перемножать можно только такие пути, для которых конец первого совпадает с началом второго. Если рассматривать гомо­ топические классы замкнутых путей, начинающихся и кончаю­ щихся в одной и той же точке какой-либо фигуры, то эти классы можно перемножать (kh, к'h' и т. д.).

Множество таких классов kh является группой относительно операции умножения.

74