Файл: Шахнович, А. Р. Математические методы в исследовании биологических систем регулирования.pdf

В случаях, когда эта функция неизвестна, используется выра­

Таким образом, получена минимальная стратегия, являющаяся одной из основных в теории игр (см. в главе 1-3 теорему фон Ней­ мана о минимаксе) (см. также Миддлтон, 1966).

ного потока ф со случайным параметром £ по характеристикам выходного потока р при наличии в системе шума с известными

Входной поток характеризуется случайным параметром | , вероятностные свойства которого заданы.

Приведенная разомкнутая система может быть рассмотрена с позиции теории оптимальных систем с накоплением информации.

По-видимому, из трех направлений этой теории — корреля­ ционных методов, методов теории информации, методов теории статистических решений представляется целесообразным исполь­ зование последнего направления как наиболее общего.

Если определить функцию потерь W как величину «убытка» от неверного решения, то очевидно, что W (S, D) -*~ min при пра­ вильном решении.

Таким образом, задача исследования связи входного и вы­ ходного информационных потоков может быть сведена к опреде­ лению стратегии, обеспечивающей минимальную функцию по-- терь. —

64

В приведенной структурной схеме одного канала информацион­ ной системы рассматриваемого класса приняты следующие обо­

р— информация в вышестоящей инстанции, содержащая о ситуации достоверную и случайную составляющие;

Пусть заданы:

— вид функции ф (s, Ç), где s — дискретное время,

—априорная плотность вероятности Р (X),

—плотности вероятности: входного сигнала Р (Д), функцио­

нального оператора Р (/2 ), канала связи Р (/3 ), объекта-

Р(h);

—способы комбинации сигнала и шума;

—элементы системы {Ni ... N5). Тогда

—Условная плотность вероятности Р (яр/ф) одинакова для

всех значений s, так как Р (Д) = const.

—Условная плотность вероятности Р (уЛ|)) одинакова для всех значений s, так как Р (/2) = const.

—Условная плотность вероятности Р {ц/у) одинакова для всех

значений s, так как Р (/3 ) = const.

Для безынерционного (без памяти) объекта Ns известны функ­

роятности Р (и.).

Удельная функция потерь для дискретного момента времени s

Ws {s, ф, р). .

Общая функция потерь

W= 2 Ws{s, ф, р). s=0

Необходимо определить такую оптимальную стратегию управ­ ляющего устройства, при котором Wmin.

Как известно, математическое ожидание удельной функции потерь в дискретный момент времени t = s является удельным ри­ ском

Таким образом, математическая постановка задачи состоит в следующем.

Для информационной системы, сведенной к разомкнутой систе­ ме управления, при заданных характеристиках элементов и веро­ ятностных характеристиках сигналов и шумов найти оптимальную стратегию управляющего устройства G (us), такую, которая обе­ спечила бы минимум среднего риска. Тогда выражение среднего риска через характеристики элементов системы имеет вид

Л$ = S Ws (s, ф, p) Р (р/и,) G (u,/n ) P (il/y) P (Г/Ф) P (#p) P (l) dQ, Q

где G (ujt]) — условная плотность вероятности, поскольку плот­ ность G (щ) зависит от т|; Q (£) — область изменения вектора | .

Поставленная выше задача является по существу аналогичной задачам теории связи ы приводимых к ним задачам управления в разомкнутой системе.

В самом деле, здесь имеется поток информации, содержащий случайную (неизвестную) составляющую §, устройство передачи информации (обладающее помехой), устройство приема информа­ ции (обладающее помехой), канал связи с шумом.

На выходе приемного устройства требуется получить показа­ тель, являющийся минимумом математического ожидания функции потерь (например, минимум ошибки между «входной» и «выходной» информациями).

Специфика подобной задачи заключается, по-видимому, в том, что управляющее устройство, осуществляющее оптимальную стра­ тегию, расположено на приемной стороне цепи, после канала связи.

Однако при известных статистических характеристиках кана­ ла связи это отличие не является существенным.

Выше показано, что методы теории статистических реше­ ний могут быть применены для получения достоверной информа­ ции на определенной ступени иерархической системы, по харак­ теристикам входной информации предыдущей ступени. Поскольку на каждой ступени происходит соединение ряда ветвей предыду­ щих ступеней иерархии, полный риск на 1-й ступени иерархиче­ ской системы при наличии «/с» ветвей от «I — 1-й ступени может

быть представлен в виде

66

Глава 1-7

ТОПОЛОГИЯ

Топология представляет собой одно из самых абстрактных на­ правлений современной математики и на первый взгляд лежит не­ сколько в стороне от тематики монографии. Однако, как показал Н. А. Бернштейн (1966), энграммы (программы работы) мозга

и положения топологии (Болтянский, Ефремович; 1957). Желаю­ щим более глубоко изучить топологию рекомендуем работы: Алек­ сандров, Ефремович, - 1936; Бурбаки, 1963; Куратовский, 1968.

Основной идеей, лежащей в основе топологии, является идея непрерывности, которая известна из математического анализа.

Как известно из анализа, задать функцию — значит задать ото­ бражение множества А в множество Б. При этом множества не обя­ зательно состоят из действительных чисел. Например (рис. 6), если А — множество точек X , расположенных на сторонах равно­

3* 67

Рис. 6. Пример топологических представлений

Рпс. 7. Пример топологических предстаалений

осо-оо-оо

проектирование точек множества А на окружность является ото­ бражением множества А в множество В.

Непрерывным называется отображение /, если любая малая ок­ рестность точки х0 в А переходит в окрестность точки у0 в В.

На рис. 7 приведен один из примеров непрерывного отображе­ ния (отображение окружности в «восьмерку»). Очевидно, что непрерывные отображения происходят без «разрывов», однако они могут иметь «спайки», «склеивания» и т. д.

Весьма важным являются отображения, происходящие без «разрывов» и «склеивания». Подобные отображения называются гомеоморфизмами.

Отображение гомеоморфно, если оно взаимооднозначно и взаим­ но непрерывно (т. е. непрерывно не только отображение /, но и об­ ратное / - 1 ) .

Рассмотрим примеры гомеоморфиых отображений : отображение контура треугольника па окружности (см. рис. 6), поверхность

В топологии рассматриваются только такие свойства фигур, которые сохраняются при гомеоморфном переходе от одной фигуры к другой.

Свойства фигур, не меняющиеся при гомеоморфных отображе­ ниях, называются топологическими свойствами фигур, или топо­

Топологическими инвариантами пользуются для доказательств негомеоморфности двух фигур. Для удобства обращения в качестве инвариантов обычно выбирают числа. Если установлено правило, при котором каждой фигуре ставится в соответствие определенное число, причем числа, соответствующие гомеоморфным фигурам,

68