Файл: Шахнович, А. Р. Математические методы в исследовании биологических систем регулирования.pdf

роятности для а-і больше, чем для я2 , или, переписав это выражение:

Ра Я ( Х ) > ^ - - » а = о 1

ности и максимума правдоподобия) представляют собой методы по­ лучения решения. Для того тобы получить оптимальное решение в соответствии с приведенной в главе І-2і методологией, необходи­ мо установить критерий оптимальности.

В теории статистических решений весьма распространены кри­ терии, связанные с вероятностями ошибок. Для определения ве­ роятности ошибок рассмотрим пространство наблюдений. Каждой наблюдаемой реализации хх ... хк соответствует вектор X этого пространства. В соответствии с выбранным методом решения каждой

сти значений ах и а2, то общая безусловная вероятность ошибки (первого и второго рода) есть

g = pza + Pip.

60

Изменением величины области Ех при конечном фиксированном объеме выборки п нельзя одновременно уменьшить значения а и ß (в силу [1-6-4]). При фиксированных значениях а и п можно выбрать такое Et, что ß будет минимальным (аналогично могут быть.рассмотрены процедуры выборкиЕ1 } минимизирующих а при фиксации п к ß или минимизирующих ?г при фиксированных зна­ чениях а и ß).

Подобный оптимальный выбор критической области Ех назы­ вается оптимальным классическим решением задачи выбора м:еж-..- ду двумя гипотезами. Способ получения оптимальной критиче­ ской области основан на критерии Иеймана — Пирсона (Башаринов, Флѳйшман, 1962). Граница оптимальной критической об­ ласти Е± при этом задается гиперповерхностью

Если выборка удовлетворяет неравенству (1-6-3), то принимается

Если принять, что оптимальным является метод решения, обес­ печивающий минимум ошибки второго рода при заданной величине ошибки первого рода (критерий Неймана — Пирсона), то при

р2 а = const = Н0

необходимо

р$ = min.

Оптимальное решение может быть получено в виде

Я (X) I я р

( j < - gi = /i->a = a2 ,

гдѳіУ (X) — коэффициент правдоподобия; Я — множитель Лагранжа, h — пороговое значение. Здесь величина порога h зависит от значения множителя Лагранжа и может быть определена для кон­ кретных случаев.

61

Приведенные методы теории двуальтернативных решений могут быть распространены на более общие классы задач. Например, ес­ ли параметр а имеет m возможных значений аг ... ат (с априор­ ными вероятностями рх ... рт), то пространство наблюдений Е разбивается на m областей Ех ... Ет, соответствующих решениям ах ... ат. При этом могут быть использованы известные методы мак­ симума апостериорной вероятности, максимума правдоподобия

ит. д.

Выше было установлено, что основная задача — задача оцен­ ки дискретного процесса вектора S = {sx ... sn) состоит в выборе решения, т. е. для каждой из величин s должны быть даны оцен­

пространства в точки ^-пространства, есть стратегия. В теории ста­ тистических решений рассматриваются два класса стратегий. Если каждому фиксированному X соответствует определенная точка про- "странстваТТд"о стратегия является регулярной. Если каждому фик­ сированному X соответствует некоторая плотность вероятностного распределения V {DIX) точек пространства D, то выбор решения является случайным, причем статистический закон, определяющий этот выбор, зависит от значения X и стратегия этого типа является случайной.

Эта функция V {DIX) называется решающей функцией (см. при­ веденную выше формулировку). Основной задачей в теории стати­ стических решений является задача определения оптимальной решающей функции. Критерий оптимальности (так же как' и в тео­ рии двуальтернативных решений) связан с ошибками решения.

В общей теории статистических решений применимы определе­ ния, введенные выше для статистических игр. Решение D, при­ нимаемое относительно параметра А, может содержать ошибку, величина которой оценивается функцией потерь

W=W{S, D).

Эта функция зависит как от вектора сигнала, так и от вектора ре­ шения. Правильное решение определяется наименьшим значе­ нием потерь,

63

Конкретный вид функции потерь может быть весьма разнообраз­ ным, например

п

W{S, D)= Sfo-d,)8,

1=1

W{S, D) = l — ô(S — D),

где ô — функция Дирака.

В общем виде функция потерь может быть случайной, так как случайной может быть стратегия или вектор наблюдения может быть смешан с шумом. При создании конкретных устройств, осу­ ществляющих решение, необходимо выбрать некую детермини­ рованную меру оценки работы этого устройства. Подобной детерми­ нированной мерой может служить математическое ожидание функ­

Как известно (см. главу 1-0), Математическое ожидание представ­ ляет собой усреднение функции по значениям случайного аргу­ мента, т, е. в нашем случае

M {W (S, D)/S} = l W{S, D)P {D/S) dQ, n(D)

где: P {DIS) — условная плотность вероятности D при заданном S; Q {D) — область возможных значений D.

Условная плотность вероятности P {DIS) может быть определена, если известны вероятностные характеристики шума и характери­ стики параметра P {X/S), а также алгоритм, по которому осуще­ ствляется решение V {DIX). Выражение для условного риска тогда имеет вид

г {S, V ) = $ W {S, D) V {DIX) P {X/S) dQ.

X)

Если характеристики сигнала неизвестны, то, зная априорную плотность вероятности P {S), можно усреднить условный риск по области Q {S). Математическое ожидание условного риска

Ä = i k f { r } = J г (S, V ) P {S) dQ

называется полным риском. Полный риск можно записать в виде

Таким образом, задача определения оптимальной стратегии может быть сформулирована как задача определения решающей функции

63