Файл: Дьярмати, И. Неравновесная термодинамика. Теория поля и вариационные принципы.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 19.10.2024
Просмотров: 107
Скачиваний: 0
Уравнения баланса |
87 |
менения «внешнего» момента Se, по крайней мере в том случае, когда на континуум не действуют внешние силы. Чтобы описать превращения «внешнего» и «внутреннего» моментов количества движения друг в друга с помощью неравновесной термодинамики, следует ввести аксиаль ный вектор
S ^ S ^ S 1, |
(2.130) |
обозначающий полный момент количества движения единицы массы континуума. Предполагается, что для этого вектора справедливо уравнение субстанциональ ного баланса, выражающее закон сохранения полного момента количества движения:
pS + V - ( r X P + tf) = 0. |
(2.131) |
Это уравнение справедливо для общего случая, когда необходимо учитывать пространственный перенос «вну треннего» момента количества движения, поскольку тен зор /7 является субстанциональной плотностью потока «внутреннего» момента количества движения. Таким об разом,
= г У\Р П = ge П |
(2.132) |
— субстанциональная плотность потока полного момента количества движения. Записывая это соотношение в ко ординатах
== '^a-Pß'v (®> ß> У== ^ 3), (2.133)
можно сразу видеть, что П является полярным тензором третьего ранга, асимметрическим по двум внешним ин дексам. [Дивергенция в (2.131) должна быть выполнена по индексу ß.]
Уравнение баланса для «внутреннего» момента коли чества движения S* можно получить, вычитая из (2.131)
уравнение баланса (2.123) для «внешнего» |
момента Se. |
Следовательно, |
|
pS' + V • П = - 2 Р ѵа |
(2.134) |
есть субстанциональное уравнение баланса «внутренне го» момента с «внутренним» источником
о ' . = |
- Р ѵа2 . |
(2.135) |
88 |
Глава II |
Приведенные уравнения баланса показывают, что если тензор Р симметричен, то члены, соответствующие «вну тренним» источникам,
aise = - o is l^=2Pva |
(2.136) |
обращаются в нуль. Таким образом, в подобных слу чаях, согласно (2.123) и (2.134), закон сохранения спра ведлив в отдельности для «внешнего» и «внутреннего» моментов количества движения. В общем случае, однако, выполняется лишь уравнение (2.131), выражающее за кон сохранения полного момента количества движения.
Естественно, что если на единицу массы континуума действует внешняя сила F, то вместо (2.131) следует ис пользовать уравнение баланса момента количества дви жения:
pS + V- (r X P + /7) = p ( r X f ) . |
(2.137) |
В этом случае уравнение выражает также закон сохра нения полного момента количества движения, так как, согласно (2.29), член, соответствующий источнику в (2.137), можно интерпретировать и как плотность «внеш него» источника
0^ = р ( г Х П |
(2.138) |
Уравнения баланса, о которых говорилось выше, можно распространить на случай многокомпонентных непрерыв ных сред, если предположить, что тензор давления Р имеет вид (2.85). Особая проблема возникает в том слу чае, когда парциальные тензоры давления Р й сред-ком понентов несимметричны. Подобные случаи до сих пор не рассматривались, хотя такое рассмотрение, вероятно, должно привести к открытию новых эффектов и в ко нечном счете к разработке новых методов разделения компонентов.§
§ 8. Уравнения баланса кинетической энергии
Перейдем к выводу уравнения баланса для кинетиче ской энергии поступательного (трансляционного) движе ния центра масс. Для общности начнем с координатной
Уравнения баланса |
89 |
формы уравнения баланса импульса (2.87):
|
дР ßa |
|
К |
|
|
рѵа |
: |
Pk^ka ( а = 1 , 2, 3), |
(2.139) |
||
дха |
|||||
|
|
|
k=\ |
|
справедливого для многокомпонентных систем. Умножая его скалярно на скорость центра масс и используя то ждество
= |
|
+ |
( с . |
р = 1 , 2 , 3 |
приходим к уравнению субстанционального баланса ки |
||||
нетической энергии |
|
к |
|
|
|
|
|
|
|
pè, + V- ( P - c) = |
P : Ѵо + |
2 рk F k - v . |
(2.141) |
|
Здесь |
|
|
|
|
|
|
|
(2.142а) |
|
— удельная |
кинетическая |
трансляционная энергия цен |
||
тра масс, а |
|
|
|
|
|
èt = v ■V |
(2.1426) |
||
— субстанциональная производная |
по времени. Сравне |
|||
ние (2.141) |
с общим уравнением (2.15) показывает, что |
|||
|
h t = Р ■г» |
|
(2.143) |
|
есть субстанциональная плотность потока трансляцион ной кинетической энергии. Если мы предполагаем (как это часто делается в обычной гидродинамике), что тен зор давления симметричен, то его можно подставить в
уравнение баланса (2.141) вместо Р. Однако это необя зательное ограничение исключает из рассмотрения ряд эффектов.
Локальная форма уравнения баланса трансляцион ной кинетической энергии аналогичным образом полу чается из (2.74) или из (2.139) и (2.21). В обоих слу чаях мы приходим к локальному уравнению баланса
90 |
Г лава 71 |
трансляционной кинетической энергии центра масс:
д г |
к |
+ V • {h t + petv) = Р : Vf + |
2 pfeift • V, (2.144) |
|
fe=i |
сравнение которого с (2.8) показывает, что локальная плотность потока кинетической энергии равна
J°et = /е.г + pe*f, |
(2.145) |
где pe*f — плотность потока кинетической энергии кон вективного движения.
В приведенных уравнениях баланса полную плот ность источника кинетической энергии можно разделить на две части:
Сте#= |
-h oit, |
(2.146) |
т. е. на «внешнюю» плотность источника, которая обя зана своим происхождением внешним силам
<nt = |
'!kpkFk -v = pF-v, |
(2.147) |
г |
fc=i |
|
и на «внутреннюю» плотность источника
= Р : Vf, |
(2.148) |
возникающую из-за неоднородности, которая внутри си стемы описывается тензором Vf. Таким образом, из всего сказанного о плотности «внешних» и «внутренних» источников при рассмотрении соотношения (2.29) выте кает, что кинетическая энергия является консервативной величиной, если а* = 0 . Уравнения баланса (2.141) и
(2.144) показывают, что в любом случае, когда в кон тинууме существуют внутренние неоднородности, опи сываемые тензором Vf, трансляционная кинетическая энергия не сохраняется. В подобных случаях тензор давления ни для каких моделей континуумов не может обращаться в нуль. Соответственно в тех случаях, когда <т‘ ф 0, принято говорить о рассеянии кинетической
энергии. С практической точки зрения особенно важен
Уравнения баланса |
91 |
тот случай, когда рассеяние кинетической энергии опре деляется вязкостной частью тензора давления Р” и гра диентом скорости Vf. Классической демонстрацией по добного рассеяния кинетической энергии, вызванного вязкостью, служит эксперимент Джоуля.
Чтобы более детально проанализировать член, соот ветствующий «внутреннему» источнику кинетической энергии, разделим тензор Vf на части, как это было сделано для тензора вязкого давления в (2.103) или в (2.104). Соответственно имеем
Vf = |
~ (V -ѵ)Ь + (Vf)s + |
(Vf)a, |
(2.149) |
|
где |
|
|
|
|
V • f = |
Vf : ö = ~ |
. (y = |
1, 2, 3) |
(2.150) |
|
0 X |
у |
|
|
— след тензора Vf, который является инвариантным скаляром и в соответствии с (2.17) и (2.25) равен де формации (расширению или сжатию) единицы объема континуума в единицу времени. С другой стороны, для несжимаемого континуума имеем
V • г» = 0. |
(2.151) |
Остальные члены имеют следующий смысл. Тензор Vf всегда можно разбить на симметрическую
|
1 / |
дѵ0 |
+ |
дѴд |
(а, ß = |
1,2, 3) |
(2.152) |
|||
|
2 Vдхп |
|
dxp. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
и антисимметрическую части |
|
|
|
|
|
|||||
|
1 / dv 0 |
|
|
dva |
(а, |
ß = |
1, 2, 3), |
(2.153) |
||
(Ѵ^ 0 = |
Т |
dxa |
|
|
âx^ |
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||
T. e . |
Vf = |
|
(Vf)s + (Vü)a. |
|
(2.154) |
|||||
|
|
|
||||||||
Следовательно, |
(2.149) |
|
показывает, |
что |
|
|
||||
о |
1 I dv ß |
^ |
dva |
|
> |
|
(2.155) |
|||
|
2 \ dx, |
|
dxI |
|
3 а0 â xv |
|||||
|
|
|
|
|||||||
|
|
(а, |
ß, у = |
1, 2, 3) |
|
|
|
|||
92 |
Глава П |
является симметрическим тензором со следом, равным нулю. Символически это соотношение можно предста вить так:
(Vü)*=(V iOj + y (v - ü)5- |
(2.156) |
С другой стороны, из компонентов антисимметрического тензора (2.153) можно построить аксиальный вектор, известный в гидродинамике под названием вихревого вектора
1 V X * = ( W . |
(2.157) |
С помощью (2.103) и (2.149) найдем скалярное про изведение тензора вязкого давления и тензора градиента скорости
Pv \ Vv = рѵ (V • ѵ) + Pw : ( W + Pva: (Vt»)e; (2.158)
здесь использовано то обстоятельство, что скалярное произведение симметрического и антисимметрического тензоров всегда равно нулю. Опираясь на этот результат и на выражение (2.94), можно записать выражение для плотности «внутреннего» источника (2.148) трансляцион ной кинетической энергии более подробно:
aif = (р + pv)V ■V + Рга : (Vü)s - Рѵа : (Уѵ)а, |
(2.159) |
где мы учли также соотношения |
|
Р“ = Рет |
(2.160а) |
и |
(2.1606) |
рѵа==_ р ѵ а ш |
Часто бывает полезно записать скалярное произведение антисимметрических тензоров в виде скалярного произ ведения аксиальных векторов, которые могут быть из них образованы. В этом случае последний член (2.159) с помощью (2.106) и (2.157) можно преобразовать в со ответствии с тождеством
р ѵ а : (\ ѵ ) а = - Г - ( Ѵ Х » ) , |
(2 .1 6 1 ) |
Уравнения баланса |
93 |
следовательно,
<Ât = (р + Рѵ) V • V + : (\ѵУ + Рѵа • (V X V). (2.162)
Плотность «внутреннего» источника трансляционной кинетической энергии (2.162) относится к таким изо тропным континуумам, в которых тензор давления не симметричен (поскольку антисимметрическая часть тен зора вязкого давления не равна нулю). Следовательно, для таких континуумов в соответствии с (2.134) момент количества движения имеет «внутренний» источник, от носящийся к внутреннему вращению с угловой ско ростью и, поэтому можно предположить наличие кине тической энергии вращения единицы массы, которой обязана своим существованием плотность «внутренне го» источника а‘Е . Определим обычным способом макро
скопическую удельную кинетическую энергию внутрен него вращения:
er = Y Ѳю2, |
(2.163а) |
субстанциональная производная по времени от которой равна
ёг = Ѳ<0'0). |
(2.1636) |
Уравнение субстанционального баланса для этой вели чины получаем из (2.134), пренебрегая для простоты членом, содержащим дивергенцию, и выполняя скаляр ное умножение на to:
pèr = рю • S' = - ю ■2Рѵа (== ю : Р®°), (2.164)
где плотность «внутреннего» источника кинетической энергии
аі( — — 2со • Рѵа ( = S : P ÜÖ) |
(2.165) |
и to — тензор угловой скорости. Поскольку в (2.162) при симметрическом тензоре давления последний член ра вен нулю и то же самое справедливо для плотности «внутреннего» источника кинетической энергии вра щения в (2.165), очевидно, что последний член,
94 |
Г лава II |
соответствующий источнику трансляционной кинетиче ской энергии, связан с «внутренним» источником враща тельной кинетической энергии. Эту связь легко выявить.
Определим полную удельную кинетическую энергию как
б* = + ег = -^-г>2 +^-Ѳю 2. |
(2.166) |
Для этой величины можно сразу же написать уравнение субстанционального баланса. Складывая уравнения
(2.141) |
и |
(2.164), |
получаем |
|
|
|
|
|
где |
|
ре* + V • (Р • V ) |
= |
4 |
+ < 4 , |
(2.167) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
= |
( Р Pv)+ V |
•V + Pv |
s : |
( V |
ü )+s |
Pva- ( V X v - 2 < ft) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.168) |
— плотность «внутреннего» |
источника. Здесь |
последний |
||||||
член представляет собой источник кинетической энер гии, возникающий за счет взаимного превращения ки нетической энергии, трансляционного движения и кине тической энергии внутреннего вращения друг в друга. Если исключить очень редкие случаи, когда векторы Рѵа и (V X ѵ — 2а») перпендикулярны друг другу, то этот член обращается в нуль в двух существенно различных случаях. Во-первых, он равен нулю, когда тензор давле ния симметричен (Р “ = Р ва = 0), следовательно, когда элементы массы континуума не вращаются (этот случай уже был подробно исследован). Во-вторых, этот член ра вен нулю, когда
a = |
(2.169) |
следовательно, вихревой вектор У2 V X » как раз равен угловой скорости (о, определяющей внутреннее вращение элементов массы континуума, подобное вращению твер дого тела. Предполагая, что вихревой вектор однороден и постоянен в пространстве и равен нулю в начальный момент времени, можно утверждать, что равенство (2.169) справедливо для большей части жидкостей после очень короткого времени релаксации. При этом предпо