Файл: Дьярмати, И. Неравновесная термодинамика. Теория поля и вариационные принципы.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 19.10.2024
Просмотров: 108
Скачиваний: 0
Уравнения баланса |
95 |
ложении нет необходимости учитывать в выражении (2.168) последний член. Как будет видно в дальнейшем, в подобных случаях «внутренний» источник кинетической энергии (2.168) характеризует континуум, динамика ко торого подчиняется уравнению Навье — Стокса, соответ ствующему симметрическому тензору давления. В тех случаях, когда равенство (2.169) несправедливо, к клас сическому уравнению Навье — Стокса необходимо доба вить еще один член, описывающий вращательную вяз кость (см. гл. VI).
Прежде чем начать исследование многокомпонентно го гидродинамического континуума, необходимо сделать несколько дополнительных замечаний. Уравнения ба ланса (2.141) и (2.144), очевидно, справедливы и для многокомпонентных непрерывных сред. Однако суще ственно то, что в уравнения баланса для таких сред вхо дит не полная трансляционная кинетическая энергия
кк
^ = у Р -1 |
(2Л70) |
k— \ 6=i
а лишь кинетическая энергия центра масс zt = ѵг!2. Вы ражение (2.170) можно преобразовать с помощью (1.39) к виду
кк
= |
= |
ckvl - \ Y i Ck(~Vk ~ ѵ)2’ (2Л71) |
|
fc=i |
fc=i |
откуда для полной трансляционной кинетической энер гии имеем
к |
|
|
|
e' = e , + i 2 |
Cft(t,* “ |
t')2- |
(2Л72) |
fc=i |
|
|
|
Последний член, используя |
(1.41), |
можно |
представить |
также в виде |
|
|
|
к |
|
|
|
й= |
і |
|
(2Л73) |
|
|
отсюда видно, что е<г есть кинетическая энергия ком понентов, обусловленная их диффузией относительно
96 |
Глава И |
локального центра масс. Соотношение (2.171) показы вает, что при формулировке любого соотношения для ки нетической энергии центра масс et = Ѵг^2 кинетическая энергия диффузии (2.173) заранее вычитается из полной трансляционной кинетической энергии (2.170). Нет ни какого сомнения в том, что в большинстве случаев ки нетической энергией диффузии можно пренебречь по сравнению с кинетической энергией центра масс, од нако, по крайней мере в принципе, все, о чем мы гово рили, следует принимать во внимание. В дальнейшем мы увидим, что для многокомпонентных систем это помогает определить удельную внутреннюю энергию.
§ 9. Уравнения баланса потенциальной энергии
Ограничим наше рассмотрение консервативными внешними полями, которые можно охарактеризовать ска лярным потенциалом фь на единицу массы компонентов. Пусть соответственно справедливы уравнения
П = - Ѵ Ф* |
(2.174а) |
и |
|
-^ Г = 0; |
(2.1746) |
исследуем при этих условиях уравнение баланса потен циальной энергии
к |
|
<P=2<VpÄ |
(2.175а) |
РФ=2р/гФ*. |
(2.1756) |
fc=i |
|
Прежде всего выясним, при каких условиях (2.174а) совместимо с условием (2.84) для удельных сил и, да лее, с выражением, связывающим результирующую силу F со скалярным потенциалом ф:
F — — ?ф. |
(2.176) |
Уравнения баланса |
97 |
Из (2.84), (2.174а) и (2.176) следует, что справедливо соотношение
Vq>=2cfeVq>ft. |
(2.177) |
б=і |
|
Поскольку очевидно, что ср удовлетворяет условию
02ф __ |
02ф |
( a ,ß = l,2 , 3), |
(2.178) |
|
дха дх$ |
длд |
|||
|
|
необходимое и достаточное условие совместности урав нений (2.174а), (2.84) и (2.176) имеет вид
К |
' дс |
d(fk |
dck |
, 1 |
к |
d (ck>Фб) |
|
|
у |
d(fk |
у |
0. |
(2.179) |
||||
б=і |
дх |
âxß |
dXß |
|
k=i |
d (xa, Xß) |
||
|
|
|
Легко показать, что это условие выполняется для гра витационного и электростатического полей, однако в по следнем случае, разумеется, лишь при том дополнитель ном условии, что удельные заряды компонентов ей по стоянны.
Найдем уравнение баланса потенциальной энергии ф. Умножая локальное уравнение баланса для компонентов (2.31) на фи, суммируя по всем компонентам и исполь зуя (2.174а), (2.44) и (2.175), получаем уравнение ло кального баланса
Ц г + ѵ - Е |
- |
S п ■Fk + £ |
У, Ф л л - (2- iso» |
|
6 = 1 |
|
6 = 1 |
6 = 1 / = I |
|
Исключая с помощью |
(1.37) |
и (1.42) |
плотности потоков |
|
компонентов /*, приходим к уравнению баланса, запи санному через диффузионные плотности потока /&:
+ |
V ■ |
+ РФ®) = * |
|
|
|
'6=1 |
/ |
|
|
|
К |
К |
К |
R |
= |
- |
^ |
Р |
(2-181) |
|
б = і |
б = і |
б = і / = 1 |
|
4 З а к . 787
98 |
Глава 11 |
Сравнивая это уравнение баланса с (2.8), можно пока зать, что локальная плотность потока потенциальной энергии равна
/ ф = — 2 <Pfe/fc+РФ®. |
(2.182) |
k=1 |
|
где рф»— член, описывающий конвекцию. Если обра титься к (2.29), то такое сравнение позволяет сделать вывод, что первые два члена в правой части (2.181) сле дует рассматривать как члены, соответствующие «внеш ним» источникам, а двойную сумму в последнем члене считать членом, соответствующим «внутреннему» источ нику потенциальной энергии. Следовательно,
4 = - ^ P k F k 'V - S / f c - F k= - Z p k F k -Ѵь (2.183)
4 = 2 |
2 ф Л / / / |
(2.184) |
fe=i |
;=i |
|
представляют собой соответственно плотности «внеш него» и «внутреннего» источника потенциальной энер гии. Интересно, что плотность «внутреннего» источника обращается в нуль во всех случаях, когда за счет хими ческой реакции выполняется условие
к |
|
2 Ф*ѵ*/ = 0 (/ = 1,2, ... ,/?) . |
(2.185) |
Выполнение этого условия для гравитационного поля обеспечивается сохранением массы, а для электростати ческого— сохранением заряда.
Нетрудно вывести и уравнение субстанционального баланса. Действительно, (2.181) при использовании (2.21) ведет прямо к уравнению субстанционального ба ланса для случая а = ц>:
Рф + Ѵ- 2 ф Л = °5 + аФ- |
(2.186) |
R— I
Уравнения баланса |
99 |
Это соответствует |
общему |
уравнению (2.15), |
если, по |
|
определению, |
|
|
|
|
Jq, = |
/г=1 |
4>kh = |
2 V jl — РФ» |
(2.187) |
|
|
ß=i |
|
|
является субстанциональной плотностью потока потен
циальной |
энергии, а о® и |
задаются соотношениями |
(2.183) и |
(2.184). |
|
$ 10. Уравнения баланса механической энергии
Определим удельную механическую энергию как сумму трансляционной кинетической энергии et, враща тельной кинетической энергии ети потенциальной энер гии ср. Следовательно, величина
+ |
+ ф |
(2.188) |
представляет собой удельную механическую энергию. Относительно этой величины ет необходимо сразу же сделать два замечания. Во-первых, она равна полной механической энергии единицы массы только в том слу чае, когда континуум содержит один компонент. В слу чае многокомпонентного континуума в выражение для полной механической энергии следует включить полную трансляционную кинетическую энергию, определяемую выражением (2.170). Это будет сделано позднее. Во-вто рых, поскольку удельная потенциальная энергия ф в (2.188) может быть не только механической энергией, но может, например, иметь электрическое происхождение, название «механическая энергия», обычно применяемое для ет , не совсем правильно.
Складывая (2.167) и (2.186), получаем следующее уравнение субстанционального баланса:
pèm + |
V • Jem= |
CT6m, |
(2.189) |
|||
где |
|
к |
|
|
|
|
Jem — |
|
+ |
Р 1ѵ |
(2.190) |
||
k=i |
||||||
m |
|
|
|
|||
4
100 Глава II
— плотность субстанционального потока энергии, а
а * т = |
°*< + |
° sr + % |
= ° * t |
+ a * t + |
° « г + % + % |
“ |
= |
( р + |
р ѵ) Ѵ - ѵ |
+ °Р“ |
: ( W + |
Г - ( Ѵ Х ® - |
2<Ö) - |
КK R
- 2 / * - jF*+ |
2 |
2 Ф Л /// (2.191) |
ft=l |
fc=l |
/=1 |
— плотность источника механической энергии. При вы воде этого подробного уравнения использовались также выражения (2.186), (2.183) и (2.184), в соответствии со смыслом которых величину
о* = (р + р°) V • V + Pw : (Vu)s + P va • (V X V - |
2<а) + |
|
ьт |
|
|
К |
R |
|
+ 2 |
2<Pftv*// / |
(2.192) |
* = і |
j= 1 |
|
в выражении (2.191) следует рассматривать как плот ность «внутреннего» источника механической энергии. Плотностью «внешнего» источника можно считать лишь величину
olm |
= аI. + а% = - |
2 /* • Fk. |
(2.193) |
т |
1 |
k=i |
|
Уравнение локального баланса механической энер гии можно быстро вывести с помощью уравнений ло кального баланса (2.144) и (2.181):
где |
^ |
+ |
= |
|
к |
|
|
|
|
|
|
Р • V + pemu |
|
|
т |
2 |
+ |
(2.195) |
|
fe=i |
|
|
|
есть локальная плотность потока энергии с конвектив ным членом ретѵ.
Как уже отмечалось, для многокомпонентного кон тинуума удельная механическая энергия ет , определяе мая выражением (2.188), не равна полной удельной ме